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L'essere è

Cantor venne convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: "Guardi lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti, perché effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica, cioè farebbe una connessione con la divinità". Allora , Cantor scelse un nome, che oggi non sarebbe tanto corretto politicamente perché ha delle implicazioni un po' diverse, li chiamò "transfiniti" e, per il colmo dell'ironia, oggi i matematici chiamano questi transfiniti "cardinali". Quindi, insomma il cerchio. L'idea del cardinale del Santo Uffizio era che oltre tutti questi transfiniti là, alla fine, c'è il vero infinito assoluto. Chiesero a Cantor cosa ne pensava : "Ma per noi matematici quello non c'è. Non esiste un infinito assoluto per i matematici, perché è contraddittorio" e il Santo Uffizio disse: "Va bene quello lì è nostro". Quindi in qualche modo ci sono delle relazioni. La chiesa si è sempre preoccupata , sempre dal momento in cui l'infinito è stato in qualche modo identificato con la divinità. Oggi però i matematici non credono che l'infinito matematico sia in qualche modo un'immagine dell'infinito metafisico. Pensano semplicemente che siano oggetti matematici e quindi li tengono abbastanza distinti.
 


L'INFINITO E IL CONTINUO

Il continuo

L’idea della continuità della retta è abbastanza intuitiva; la retta è continua in quanto è un qualcosa di compatto, privo di interruzioni o buchi.

Il primo tentativo di definizione della continuità lo si deve probabilmente a Galilei; precedentemente, a partire dai Greci, la continuità era solo intuitiva, ed in riferimento a questo periodo si parlerà di continuo geometrico per indicare la retta (o il segmento).

L’atomismo pitagorico (Pitagora 569-475, Samo, Grecia) aveva tentato di descrivere il continuo. Avendo infatti posto a base della geometria la concezione granulare del punto, in base alla quale un punto era un ente che, pur se piccolissimo, aveva comunque una dimensione, era cioè un atomo indivisibile, ne conseguiva che

un segmento era costituito da un numero finito di atomi indivisibili,

e che quindi il rapporto di due segmenti, in quanto rapporto di naturali, doveva essere un numero razionale.

Fu proprio dei pitagorici però, la scoperta di segmenti incommensurabili. Il rapporto rad2 fra diagonale e lato di un quadrato, non può essere infatti un numero razionale; diversamente, se fosse rad2=m/n, allora 2n2=m2; ma ciò non è possibile perché nel primo membro il 2 figurerebbe un numero dispari di volte, mentre nel secondo membro figurerebbe un numero pari di volte.

La scoperta di segmenti incommensurabili, mentre da una parte inficiava la dottrina pitagorica, segnò anche, e per lungo tempo, un distacco fra geometria e numeri (si ricordi che non esistevano ancora i numeri reali), poiché il finito non era in grado di descrivere il continuo.

L’infinito

Il termine infinito (l’apeiron) fu usato per la prima volta da Anassimandro di Mileto (610-545). Aristotele (384-322) cercò di mettere ordine nell’uso dell’infinito. Egli farà una chiara distinzione fra l’infinito in atto, l’accettazione cioè dell’esistenza di insiemi infiniti, e l’infinito in potenza, cioè qualcosa che è sempre divisibile in parti più piccole ma che non è pensabile nella sua interezza. Nella matematica greca, e tutto sommato fino al diciannovesimo secolo, l’infinito fu sempre concepito come infinito potenziale.

L’alternativa al pitagoricismo, non poteva essere quella di descrivere il continuo nel seguente modo:

un segmento è costituito da un numero infinito di atomi indivisibili.

Infatti, ciò avrebbe comportato, contro gli insegnamenti di Aristotele, l’esistenza di un infinito attuale (il segmento). E d’altronde, poiché gli atomi indivisibili dovevano comunque avere la stessa dimensione, ne derivava che un segmento doveva avere lunghezza infinita.

Anassagora di Clazomene (499-428, Turchia) fu seguace di Eraclito di Efeso (540-480, il divenire). Convinto sostenitore dell’infinità potenziale, diede la seguente caratterizzazione del continuo:

dato un segmento, ne esiste sempre uno più piccolo.

Un segmento veniva così ad essere un insieme potenzialmente infinito di punti, ottenenibili con il principio della infinita divisibilità.

I paradossi di Zenone

Zenone di Elea (490-425) fu seguace di Parmenide di Elea (500; l’essere). Contestò, coi famosi paradossi, ogni possibilità di descrivere il continuo, geometrico o spazio-temporale, come molteplicità di parti discrete.

Contro l’infinità attuale degli atomi indivisibili, Zenone fornì il già visto paradosso della lunghezza infinita di un segmento. Contro invece l’infinità potenziale, Zenone fornì invece i cosiddetti (paradossi dell’infinito potenziale). E cioè,

Il paradosso di Achille e la tartaruga, (o dell’impossibilità del moto). Il piè veloce Achille non potrebbe mai raggiungere la lenta tartaruga partita in vantaggio, poiché dovrebbe operare, per l’infinita divisibilità di Anassagora, infiniti passi. Anzi, Achille non potrebbe neanche muoversi!

I Greci però, non sempre furono convinti della validità di tale argomentazione. E nell’ottocento infatti, in seguito all’introduzione ad opera di Weierstrass del concetto di limite, si provò che la somma di infiniti termini può benissimo essere finita.

Il paradosso derivante dalla scoperta di segmenti incommensurabili. In un quadrato di lato 1, mentre la misura rad2 della diagonale può solo approssimarsi per passi successivi, con un insieme cioè potenzialmente infinito di passi, la diagonale stessa però, in quanto esiste, ha un tipo di esistenza attuale. L’accettazione quindi del solo infinito potenziale sarebbe abbastanza problematica.

Il paradosso, infine, derivante dalla determinazione della lunghezza della circonferenza, che sarà esaminato nel seguito.

I paradossi di Zenone sono stati considerati come puri sofismi; con essi però Zenone voleva solo contestare il punto di vista secondo il quale fosse in qualche modo descrivibile il continuo.

Eudosso

Eudosso (408-355, Cnido, Turchia) formulò una nuova caratterizzazione, il postulato di Eudosso, del continuo geometrico. Precisamente:

Dati due segmenti a<b, esiste un multiplo di a che supera b.

Tale postulato implica la caratterizzazione di Anassagora. In più, anche una retta diviene un insieme potenzialmente infinito di punti; quindi il continuo (cioè, la retta ed il segmento) era sufficientemente espresso dall’infinita potenzialità nel senso di Eudosso.

Il postulato di Eudosso rende anche conto dell’incommensurabilità. Si considerino infatti due segmenti a<b; esisterà un naturale n tale che na<b<(n+1)a; e dunque b/ a=n,…; ripetendo il ragionamento per (a/10) e (b-(n-1)a), si trova b/ a=n,n1…; si reitera il procedimento.

È facile verificare che il postulato di Eudosso è equivalente al seguente assioma di Archimede:

Dati due segmenti a<b, se da b si toglie almeno la sua metà, dalla residua si toglie almeno la metà, e così via,

dopo un numero finito di siffatte operazioni si deve giungere ad una parte residua più piccola di a.

L’assioma fu enunciato esplicitamente da Archimede (287-212 a.C.) e da lui attribuito ad Eudosso; anche se oggi è comunemente noto come assioma di Archimede.

Eudosso fornì anche un metodo dimostrativo, il metodo di esaustione, ampiamente utilizzato negli Elementi di Euclide e da Archimede. Il metodo si utilizzava nel provare, per assurdo, una eguaglianza a=b. Con l'esaustione i geometri greci erano riusciti ad evitare, secondo i dettami aristotelici, l’infinito, e a non usarlo mai nelle dimostrazioni. Si osservi infine che l'esaustione è rigorosa ma non fertile: i risultati che permette di dimostrare devono essere intuiti per altre vie.

Dedekind e Cantor

Un primo riesame dei concetti di infinito ed un primo tentativo di definizione della continuità si devono probabilmente a Galilei. Egli affermò, con sant’Agostino, la possibilità di ridurre un continuo in infiniti elementi senza estensione, e di considerare dunque il continuo come una somma infinita di inestesi, e non dunque di atomi indivisibili. L’infinito in atto dunque, checché ne pensi Aristotele, non può non essere pensato, ed il segmento non è altro che una sua manifestazione. Galilei si rese subito conto però di nuovi paradossi dell’infinito attuale, consistenti nel fatto che si esibivano infiniti attuali uguali a rispettive parti proprie (si ricordi che costruì una bigezione fra naturali e loro quadrati). Tali paradossi inficiavano il principio pitagorico, poi presente come nozione comune negli elementi di Euclide, in base al quale il tutto è maggiore della parte. Per tale motivo, Galilei fu abbastanza cauto sul piano matematico.

Galilei pensò poi, con Leibniz, di caratterizzare la continuità dei punti della retta in base alla densità, nel senso che fra due punti v’è sempre un punto; tuttavia, anche i numeri razionali hanno siffatta proprietà, ma non formano un continuo.

La rivisitazione del concetto di continuità si proponeva anche per altri aspetti; era ormai invalso infatti l’uso di identificare numeri reali e punti di una retta; e si richiedeva quindi una definizione di continuità che funzionasse anche per i numeri reali.

Dedekind si richiese cosa caratterizzasse il continuo e stabilì che la continuità non sta tanto nella densità di Galilei quanto in una proprietà contraria.

Stabilì precisamente il seguente postulato di Dedekind:

Se si forma una partizione di un segmento AB in due classi Ö e Ø tali che i punti di Ö precedano quelli di Ø,

ed AÎÖ e BÎ Ø, esiste allora un unico elemento separatore delle due classi.

Diede poi una definizione di numero reale completamente sganciata da ogni eventuale rappresentazione geometrica e tale che da essa si potesse ricavare l’equipotenza fra retta e reali, e quindi la continuità dei reali. Una successiva analisi ha fatto notare che il postulato di Dedekind implica quello di Eudosso.

Oggi si preferisce definire la continuità con un principio che, assieme al postulato di Eudosso, non lo implica. Tale è il seguente principio di Cantor:

Due insiemi di punti di una retta separati e contigui hanno un unico punto di separazione.

Si prova infatti che (Eu +C)Û D.

Fu merito di Cantor l’aver risolto i paradossi dell’infinito attuale che avevano bloccato Galilei, e la legittima riproposizione dell’infinito attuale, oggi largamente accettato. La sua grande intuizione fu il concetto di equipotenza. Ne viene che un insieme può essere uguale ad una sua parte propria, purchè per uguale si intenda equipotente. Anzi Dedekind stabilì come definizione di insieme infinito proprio il fatto di essere equipotente ad una sua parte propria.

La conseguente teoria dei numeri cardinali, e la scoperta di infiniti infiniti non confrontabili sconcertò probabilmente lo stesso Cantor. Egli, di famiglia ebrea però cattolico battezzato, si sentì in dovere di recarsi alla fine del 1800 in Vaticano per essere sicuro che le sue ricerche non contrastassero con gli insegnamenti della Chiesa. Fu nominata una commissione di cardinali che dopo un po’ di tempo concluse che, pur non essendo problematica l’esistenza di infiniti infiniti non confrontabili, sarebbe però stato opportuno non parlare di infiniti. Cantor usò allora l’aggettivo transfiniti. I matematici posteriori li chiamarono invece ironicamente cardinali.

La possibilità di concepire il continuo come un infinito in atto rimane una questione aperta a causa dei problemi fondazionali che minano l’edificio cantoriano. Per altri aspetti, l’eliminazione, addirittura, dell’infinito in matematica, operata da Weierstrass, non sembra essere soddisfacente. A tal proposito, Hilbert ribadisce, in un famoso brano del 1926, che “l'essenza della sistemazione del calcolo infinitesimale operata da Weierstrass consiste nell'aver eliminato l'infinito, dal momento che con la definizione di limite esso è stato ridotto ad una pura convenzione verbale. Tuttavia, l'infinito rimane un concetto aperto indispensabile per il pensiero matematico”.


Discorso inaugurale del Congresso su "L'Universo Caotico" del premio Nobel Ilya Prigogine in occasione del conferimento della cittadinanza onoraria da parte dei Comune di Pescara.