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Cantor venne
convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: "Guardi
lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti, perché
effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica, cioè farebbe una
connessione con la divinità". Allora , Cantor scelse un nome, che oggi non
sarebbe tanto corretto politicamente perché ha delle implicazioni un po'
diverse, li chiamò "transfiniti" e, per il colmo dell'ironia, oggi i
matematici chiamano questi transfiniti "cardinali". Quindi, insomma il
cerchio. L'idea del cardinale del Santo Uffizio era che oltre tutti questi
transfiniti là, alla fine, c'è il vero infinito assoluto. Chiesero a Cantor
cosa ne pensava : "Ma per noi matematici quello non c'è. Non esiste un
infinito assoluto per i matematici, perché è contraddittorio" e il Santo
Uffizio disse: "Va bene quello lì è nostro". Quindi in qualche modo ci sono
delle relazioni. La chiesa si è sempre preoccupata , sempre dal momento in
cui l'infinito è stato in qualche modo identificato con la divinità. Oggi
però i matematici non credono che l'infinito matematico sia in qualche modo
un'immagine dell'infinito metafisico. Pensano semplicemente che siano
oggetti matematici e quindi li tengono abbastanza distinti.
L'INFINITO E IL CONTINUO
Il
continuo
L’idea della continuità della retta è abbastanza intuitiva; la retta è
continua in quanto è un qualcosa di compatto, privo di interruzioni o buchi.
Il primo tentativo di definizione della continuità lo si deve probabilmente
a Galilei; precedentemente, a partire dai Greci, la continuità era solo
intuitiva, ed in riferimento a questo periodo si parlerà di continuo
geometrico per indicare la retta (o il segmento).
L’atomismo pitagorico (Pitagora 569-475, Samo, Grecia) aveva tentato di
descrivere il continuo. Avendo infatti posto a base della geometria la
concezione granulare del punto, in base alla quale un punto era un ente che,
pur se piccolissimo, aveva comunque una dimensione, era cioè un atomo
indivisibile, ne conseguiva che
un segmento era costituito da un numero finito di atomi indivisibili,
e che quindi il rapporto di due segmenti, in quanto rapporto di naturali,
doveva essere un numero razionale.
Fu proprio dei pitagorici però, la scoperta di segmenti incommensurabili. Il
rapporto rad2 fra diagonale e lato di un quadrato, non può essere infatti un
numero razionale; diversamente, se fosse rad2=m/n, allora 2n2=m2; ma ciò non
è possibile perché nel primo membro il 2 figurerebbe un numero dispari di
volte, mentre nel secondo membro figurerebbe un numero pari di volte.
La scoperta di segmenti incommensurabili, mentre da una parte inficiava la
dottrina pitagorica, segnò anche, e per lungo tempo, un distacco fra
geometria e numeri (si ricordi che non esistevano ancora i numeri reali),
poiché il finito non era in grado di descrivere il continuo.
L’infinito
Il termine infinito (l’apeiron) fu usato per la prima volta da Anassimandro
di Mileto (610-545). Aristotele (384-322) cercò di mettere ordine nell’uso
dell’infinito. Egli farà una chiara distinzione fra l’infinito in atto,
l’accettazione cioè dell’esistenza di insiemi infiniti, e l’infinito in
potenza, cioè qualcosa che è sempre divisibile in parti più piccole ma che
non è pensabile nella sua interezza. Nella matematica greca, e tutto sommato
fino al diciannovesimo secolo, l’infinito fu sempre concepito come infinito
potenziale.
L’alternativa al pitagoricismo, non poteva essere quella di descrivere il
continuo nel seguente modo:
un segmento è costituito da un numero infinito di atomi indivisibili.
Infatti, ciò avrebbe comportato, contro gli insegnamenti di Aristotele,
l’esistenza di un infinito attuale (il segmento). E d’altronde, poiché gli
atomi indivisibili dovevano comunque avere la stessa dimensione, ne derivava
che un segmento doveva avere lunghezza infinita.
Anassagora di Clazomene (499-428, Turchia) fu seguace di Eraclito di Efeso
(540-480, il divenire). Convinto sostenitore dell’infinità potenziale, diede
la seguente caratterizzazione del continuo:
dato un segmento, ne esiste sempre uno più piccolo.
Un segmento veniva così ad essere un insieme potenzialmente infinito di
punti, ottenenibili con il principio della infinita divisibilità.
I paradossi di Zenone
Zenone di Elea (490-425) fu seguace di Parmenide di Elea (500; l’essere).
Contestò, coi famosi paradossi, ogni possibilità di descrivere il continuo,
geometrico o spazio-temporale, come molteplicità di parti discrete.
Contro l’infinità attuale degli atomi indivisibili, Zenone fornì il già
visto paradosso della lunghezza infinita di un segmento. Contro invece
l’infinità potenziale, Zenone fornì invece i cosiddetti (paradossi
dell’infinito potenziale). E cioè,
Il paradosso di Achille e la tartaruga, (o dell’impossibilità del moto). Il
piè veloce Achille non potrebbe mai raggiungere la lenta tartaruga partita
in vantaggio, poiché dovrebbe operare, per l’infinita divisibilità di
Anassagora, infiniti passi. Anzi, Achille non potrebbe neanche muoversi!
I Greci però, non sempre furono convinti della validità di tale
argomentazione. E nell’ottocento infatti, in seguito all’introduzione ad
opera di Weierstrass del concetto di limite, si provò che la somma di
infiniti termini può benissimo essere finita.
Il paradosso derivante dalla scoperta di segmenti incommensurabili. In un
quadrato di lato 1, mentre la misura rad2 della diagonale può solo
approssimarsi per passi successivi, con un insieme cioè potenzialmente
infinito di passi, la diagonale stessa però, in quanto esiste, ha un tipo di
esistenza attuale. L’accettazione quindi del solo infinito potenziale
sarebbe abbastanza problematica.
Il paradosso, infine, derivante dalla determinazione della lunghezza della
circonferenza, che sarà esaminato nel seguito.
I paradossi di Zenone sono stati considerati come puri sofismi; con essi
però Zenone voleva solo contestare il punto di vista secondo il quale fosse
in qualche modo descrivibile il continuo.
Eudosso
Eudosso (408-355, Cnido, Turchia) formulò una nuova caratterizzazione, il
postulato di Eudosso, del continuo geometrico. Precisamente:
Dati due segmenti a<b, esiste un multiplo di a che supera b.
Tale postulato implica la caratterizzazione di Anassagora. In più, anche una
retta diviene un insieme potenzialmente infinito di punti; quindi il
continuo (cioè, la retta ed il segmento) era sufficientemente espresso
dall’infinita potenzialità nel senso di Eudosso.
Il postulato di Eudosso rende anche conto dell’incommensurabilità. Si
considerino infatti due segmenti a<b; esisterà un naturale n tale che na<b<(n+1)a;
e dunque b/ a=n,…; ripetendo il ragionamento per (a/10) e (b-(n-1)a), si
trova b/ a=n,n1…; si reitera il procedimento.
È facile verificare che il postulato di Eudosso è equivalente al seguente
assioma di Archimede:
Dati due segmenti a<b, se da b si toglie almeno la sua metà, dalla residua
si toglie almeno la metà, e così via,
dopo un numero finito di siffatte operazioni si deve giungere ad una parte
residua più piccola di a.
L’assioma fu enunciato esplicitamente da Archimede (287-212 a.C.) e da lui
attribuito ad Eudosso; anche se oggi è comunemente noto come assioma di
Archimede.
Eudosso fornì anche un metodo dimostrativo, il metodo di esaustione,
ampiamente utilizzato negli Elementi di Euclide e da Archimede. Il metodo si
utilizzava nel provare, per assurdo, una eguaglianza a=b. Con l'esaustione i
geometri greci erano riusciti ad evitare, secondo i dettami aristotelici,
l’infinito, e a non usarlo mai nelle dimostrazioni. Si osservi infine che
l'esaustione è rigorosa ma non fertile: i risultati che permette di
dimostrare devono essere intuiti per altre vie.
Dedekind e Cantor
Un primo riesame dei concetti di infinito ed un primo tentativo di
definizione della continuità si devono probabilmente a Galilei. Egli affermò,
con sant’Agostino, la possibilità di ridurre un continuo in infiniti
elementi senza estensione, e di considerare dunque il continuo come una
somma infinita di inestesi, e non dunque di atomi indivisibili. L’infinito
in atto dunque, checché ne pensi Aristotele, non può non essere pensato, ed
il segmento non è altro che una sua manifestazione. Galilei si rese subito
conto però di nuovi paradossi dell’infinito attuale, consistenti nel fatto
che si esibivano infiniti attuali uguali a rispettive parti proprie (si
ricordi che costruì una bigezione fra naturali e loro quadrati). Tali
paradossi inficiavano il principio pitagorico, poi presente come nozione
comune negli elementi di Euclide, in base al quale il tutto è maggiore della
parte. Per tale motivo, Galilei fu abbastanza cauto sul piano matematico.
Galilei pensò poi, con Leibniz, di caratterizzare la continuità dei punti
della retta in base alla densità, nel senso che fra due punti v’è sempre un
punto; tuttavia, anche i numeri razionali hanno siffatta proprietà, ma non
formano un continuo.
La rivisitazione del concetto di continuità si proponeva anche per altri
aspetti; era ormai invalso infatti l’uso di identificare numeri reali e
punti di una retta; e si richiedeva quindi una definizione di continuità che
funzionasse anche per i numeri reali.
Dedekind si richiese cosa caratterizzasse il continuo e stabilì che la
continuità non sta tanto nella densità di Galilei quanto in una proprietà
contraria.
Stabilì precisamente il seguente postulato di Dedekind:
Se si forma una partizione di un segmento AB in due classi Ö e Ø tali che i
punti di Ö precedano quelli di Ø,
ed AÎÖ e BÎ Ø, esiste allora un unico elemento separatore delle due classi.
Diede poi una definizione di numero reale completamente sganciata da ogni
eventuale rappresentazione geometrica e tale che da essa si potesse ricavare
l’equipotenza fra retta e reali, e quindi la continuità dei reali. Una
successiva analisi ha fatto notare che il postulato di Dedekind implica
quello di Eudosso.
Oggi si preferisce definire la continuità con un principio che, assieme al
postulato di Eudosso, non lo implica. Tale è il seguente principio di
Cantor:
Due insiemi di punti di una retta separati e contigui hanno un unico punto
di separazione.
Si prova infatti che (Eu +C)Û D.
Fu merito di Cantor l’aver risolto i paradossi dell’infinito attuale che
avevano bloccato Galilei, e la legittima riproposizione dell’infinito
attuale, oggi largamente accettato. La sua grande intuizione fu il concetto
di equipotenza. Ne viene che un insieme può essere uguale ad una sua parte
propria, purchè per uguale si intenda equipotente. Anzi Dedekind stabilì
come definizione di insieme infinito proprio il fatto di essere equipotente
ad una sua parte propria.
La conseguente teoria dei numeri cardinali, e la scoperta di infiniti
infiniti non confrontabili sconcertò probabilmente lo stesso Cantor. Egli,
di famiglia ebrea però cattolico battezzato, si sentì in dovere di recarsi
alla fine del 1800 in Vaticano per essere sicuro che le sue ricerche non
contrastassero con gli insegnamenti della Chiesa. Fu nominata una
commissione di cardinali che dopo un po’ di tempo concluse che, pur non
essendo problematica l’esistenza di infiniti infiniti non confrontabili,
sarebbe però stato opportuno non parlare di infiniti. Cantor usò allora
l’aggettivo transfiniti. I matematici posteriori li chiamarono invece
ironicamente cardinali.
La possibilità di concepire il continuo come un infinito in atto rimane una
questione aperta a causa dei problemi fondazionali che minano l’edificio
cantoriano. Per altri aspetti, l’eliminazione, addirittura, dell’infinito in
matematica, operata da Weierstrass, non sembra essere soddisfacente. A tal
proposito, Hilbert ribadisce, in un famoso brano del 1926, che “l'essenza
della sistemazione del calcolo infinitesimale operata da Weierstrass
consiste nell'aver eliminato l'infinito, dal momento che con la definizione
di limite esso è stato ridotto ad una pura convenzione verbale. Tuttavia,
l'infinito rimane un concetto aperto indispensabile per il pensiero
matematico”.
Discorso inaugurale
del Congresso su "L'Universo Caotico" del premio Nobel Ilya Prigogine in
occasione del conferimento della cittadinanza onoraria da parte dei Comune
di Pescara.
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