Linguaggi formali      Archivio



Sono cosí chiamati i linguaggi artificiali, rigorosamente definiti in tutti i loro aspetti sintattici e semantici, di cui fa uso la logica contemporanea. I piú comuni sono i cosiddetti linguaggi del primo ordine (logica formale). In un linguaggio del genere, la categoria sintattica fondamentale è quella delle formule, cioè delle espressioni alle quali, in sede di valutazione semantica, può essere attribuito un valore di verità (le formule di un linguaggio del primo ordine corrispondono dunque piú o meno a quelli che, in una lingua naturale, sono gli enunciati dichiarativi; ma nella teoria dei linguaggi formali il termine "enunciato" viene adoperato di solito per indicare formule di tipo particolare: si veda oltre).

Per specificare l'insieme delle formule di un linguaggio si procede in due fasi: anzitutto si definisce l'insieme delle formule atomiche, che sono le formule più semplici, quelle che non contengono altre formule come propri costituenti; poi si fissano i modi in cui, a partire dalle formule atomiche, è possibile costruire, con l'ausilio degli operatori logici, formule complesse. Gli ingredienti delle formule atomiche sono i termini e le costanti predicative. I termini sono espressioni la cui funzione semantica è quella di denotare oggetti dell'universo di discorso: sono termini le variabili, il cui ruolo può essere assimilato, entro certi limiti, a quello dei pronomi nelle lingue naturali, e le costanti individuali, che corrispondono pressappoco agli usuali nomi propri. (Certi linguaggi formali contengono inoltre termini complessi, corrispondenti a espressioni come "la radice quadrata di 25" o "30 meno IO").

Le costanti predicative sono espressioni la cui funzione semantica è quella di denotare insiemi di oggetti (costanti predicative monadiche) o relazioni tra oggetti (costanti predicative diadiche, triadiche, ecc.): il loro ruolo è assimilabile a quello dei sintagmi verbali delle lingue naturali. Una formula atomica può essere formata semplicemente facendo seguire a una costante predicativa un numero appropriato di termini. Ad es., se P è una costante predicativa monadica e a una costante individuale, Pa è una formula atomica, cosí come è una formula atomica Rxb se R è una costante predicativa diadica, x una variabile e b una costante individuale (e se poi, come denotazioni di P, R, a e b si sceglieranno rispettivamente l'insieme degli individui con i capelli biondi, la relazione che vige tra due individui quando il primo odia il secondo, l'individuo Giovanni e l'individuo Piero, Pa potrà essere letto come "Giovanni è biondo" e Rxb come "x odia Piero" o magari come "lui/lei odia Piero").

A partire dalle formule atomiche si possono quindi generare le formule complesse mediante l'introduzione degli operatori logici: connettivi verofunzionali e quantíficatori. Se a e β sono due formule qualsiasi, -a, (a & β), (a v β), (a › β) sono ancora formule (leggibili rispettivamente come 'non a', 'a e β', 'a oppure β', 'se a allora β'), cosí come, se a è una formula e x una variabile, sono ancora formule Vxa (`ogni individuo x è tale che a') e Эxa (`qualche individuo x è tale che a').

E' importante sottolineare che, nella generazione delle formule complesse, l'introduzione di operatori logici può essere iterata un qualunque numero finito di volte, per cui l'insieme delle formule di un linguaggio del primo ordine è infinito (come del resto è infinito l'insieme delle frasi grammaticali di una lingua naturale). Illustrando la nozione di formula, si è qui già accennato al modo in cui le formule sono di solito interpretate.

Ufficialmente, però, nella definizione di un linguaggio formale sintassi e semantica devono essere tenute separate: prima si specifica l'insieme delle formule prescindendo da ogni considerazione relativa al significato, poi si procede all'interpretazione.

Interpretare un linguaggio del primo ordine vuole dire anzitutto fissare un universo di discorso e attribuire alle costanti individuali e predicative una denotazione relativamente all'universo di discorso prescelto. L'universo di discorso (spesso chiamato dominio dell'interpretazione) è l'insieme delle entità di cui si intende parlare per mezzo del linguaggio: ad es., se si vuole usare un certo linguaggio per fare aritmetica, si sceglierà come universo di discorso l'insieme dei numeri naturali. Per quanto concerne poi la denotazione delle costanti, già si è detto, anticipando, in che consista: la denotazione di una costante individuale è una delle entità dell'universo di discorso (la costante può essere pensata come un nome dell'entità in questione), mentre la denotazione di una costante predicativa monadica, diadica, triadica, ecc. sarà rispettivamente un insieme di entità appartenenti all'universo di discorso, una relazione fra coppie di entità appartenenti all'universo di discorso, una relazione fra triple di entità appartenenti all'universo di discorso, ecc.

Una volta stabilita un'interpretazione del linguaggio mediante la scelta di un universo di discorso e l'attribuzione di una denotazione alle costanti, resta da spiegare come, rispetto a tale interpretazione, debbano essere valutate le formule: quali formule, cioè, debbano essere considerate vere e quali no. Un metodo rigoroso per definire la verità delle formule di un linguaggio formale fu elaborato negli anni Trenta dal logico polacco A. Tarski [1936].

L'idea di Tarski è che la definizione della verità debba essere per cosí dire parallela alla definizione dell insieme delle formule: si comincia con l'enunciare le condizioni che devono essere soddisfatte affinché sia vera una formula atomica, e poi si specificano le condizioni della verità di una formula complessa assumendo come già note le condizioni della verità delle formule più semplici in essa contenute. C'è pero una difficoltà, che ha a che fare con la possibile presenza nelle formule di variabili. Questo punto può essere illustrato sfruttando l'analogia tra variabili e pronomi. Si considerino due frasi come 1) "Lui è biondo" e 2) "Qualcuno è tale che Piero lo odia". A chi ci si riferisca con il pronome lui che compare in 1) può essere stabilito solo in base al contesto: perciò la frase non ha un valore di verità stabile, ma sarà vera nei contesti in cui con il pronome ci si riferisce ad un individuo biondo e falsa negli altri contesti. Viceversa 2), pur contenendo anch'essa un pronome, è vera o falsa in assoluto: il motivo è che qui il pronome non serve per riferirsi ad alcun individuo, né specificato dal contesto né fissato una volta per tutte, ma è parte della costruzione introdotta da "qualcuno è tale che" (1) equivale a "Piero odia qualcuno"). Nei linguaggi formali, alla differenza tra i due usi del pronome esemplificati da 1) e da 2) corrisponde la differenza tra variabili libere, come la x di Px, e variabili vincolate, come la x di ЭxRax. Una variabile vincolata è, grosso modo, una variabile che compare nel campo di azione di un quantificatore. Le formule contenenti variabili liberè si dicono formule aperte, mentre quelle le cui variabili sono tutte vincolate vengono chiamate chiuse o enunciati.

Ora, la difficoltà che si incontra quando ci si accinge a definire la nozione di verità è la seguente. La verità senza ulteriori qualificazioni può essere attribuita solo ad una formula chiusa, non ad una formula aperta (cosí come, nel linguaggio naturale, può essere attribuita solo a 2) ma non a 1)). Ma una formula chiusa può ovviamente contenere al suo interno formule aperte (ad es., la formula chiusa ЭxRax contiene la formula aperta Rax), e sembra perciò che l'idea di definire le condizioni della verità di una formula complessa a partire da quelle delle formule piú semplici in essa contenute non sia praticabile.

La soluzione escogitata da Tarski consiste nell'introdurre anzitutto la nozione di soddisfacimento di una formula da parte di (cioè, di verità di una formula relativa a) un'assegnazione di valori alle variabili. La nozione di soddisfacimento si applica indiscriminatamente a tutte le formule, aperte o chiuse che siano. La definizione può essere perciò del tipo sopra descritto: si comincia con lo specificare le condizioni che devono valere affinché siano soddisfatte le formule atomiche, e poi si dànno le condizioni del soddisfacimento delle formule complesse assumendo come già note le condizioni del soddisfacimento delle formule piú semplici in esse contenute. Siccome le formule chiuse non contengono variabili libere, una formula chiusa che sia soddisfatta da una certa assegnazione di valori alle variabili risulta soddisfatta anche da tutte le altre assegnazioni: la nozione di verità può allora essere definita dicendo che una formula chiusa è vera se e soltanto se è soddisfatta da tutte le assegnazioni di valori alle variabili.

I linguaggi formali del primo ordine devono la loro importanza al fatto che le loro risorse espressive sono sufficienti per formalizzare tutta la matematica. Bisogna ricordare però, che in logica si adoperano e si studiano anche linguaggi diversi: ad es., i linguaggi del secondo ordine, che consentono di quantificare non solo su individui.ma anche su proprietà, i linguaggi modali, con operatori esprimenti necessità e possibilità, ecc.