Logica formale      Archivio

La logica si occupa della relazione di deducibilità (o inferibilità, o conseguenza: questi termini possono essere usati come sinonimi, a meno che non si siano attribuiti loro significati distinti mediante opportune stipulazioni definitorie). Un enunciato E è deducibile dagli enunciati E1, En se non è possibile che E1,..., En siano tutti veri senza che sia vero anche E. In certi casi, la deducibilità di un enunciato da altri enunciati non dipende dallo specifico contenuto degli enunciati in questione, ed è di questi casi in particolare che tratta la logica.

Il punto può essere chiarito con un paio di esempi. L'enunciato 1) "Maria non è la moglie di Paolo" è certamente deducibile dall'enunciato 2) "Paolo è scapolo" (non è possibile che 2) sia vero senza che sia vero anche 1)); ma ciò dipende dallo specifico contenuto dei due enunciati, dal fatto che chi non è sposato non ha moglie e che "scapolo" vuole dire appunto 'non sposato'. Si considerino invece gli enunciati 3) "Ogni filosofo è povero", 4) "Ogni povero è infelice" e 5) "Ogni filosofo è infelice". 5) è ovviamente deducibile da 3) e 4) e, altrettanto ovviamente, il sussistere di questo nesso di deducibilità non ha niente a che vedere con ciò di cui questi enunciati parlano (se in 3-5) si sostituiscono "filosofo", "povero",
"infelice" con altri termini scelti a piacere, si ottengono ancora tre enunciati tali che il terzo è deducibile dai primi due: ad es., "Ogni felino è carnivoro", "Ogni carnivoro è pericoloso", "Ogni felino è pericoloso"). Si può dire che 5) è logicamente deducibile da (ovvero che è conseguenza logica di) 3) e 4).

Il motivo per cui si parla di logica formale è che, fin dall'antichità, i logici hanno cercato di caratterizzare i rapporti di conseguenza logica tra enunciati facendo riferimento soltanto alla forma, cioè alla configurazione sintattica, degli enunciati stessi (anche se poi, per giustificare una tale caratterizzazione, si deve inevitabilmente ricorrere a considerazioni di ordine semantico: ad es., si può enunciare il principio per cui, dati tre enunciati rispettivamente della forma "Ogni A è B", "Ogni B è C" e "Ogni A è C", il terzo è conseguenza logica dei primi due; il principio fa riferimento soltanto alla forma degli enunciati, ma è ovvio che la sua validità dipende da fatti semantici, in particolare dal significato di "ogni"). Al punto di vista formale già si atteneva con coerenza Aristotele negli Analitici Primi, dove, com'è noto, venivano indagati i diversi tipi di ragionamento sillogistico (di cui 3-5) è un esempio).

La teoria aristotelica del sillogismo rappresenta senza dubbio il contributo piú rilevante alla logica formale prima della grande rinascita della logica tra Ottocento e Novecento, quando il desiderio di comprendere a fondo e di padroneggiare le modalità di ragionamento impiegate nelle dimostrazioni matematiche induce gli studiosi ad affrontare la problematica logica in una prospettiva nuova, con l'ausilio di una nuova e potente strumentazione concettuale. Questa strumentazione concettuale è a sua volta di tipo matematico, per cui l'espressione logica matematica, usata spesso per designare la versione contemporanea della logica formale può essere intesa in due modi: o nel senso di 'logica della matematica', con riferimento a quello che è stato, almeno all'inizio, il suo oggetto privilegiato, oppure nel senso di `logica che si avvale di metodi matematici'. Un passo decisivo nella creazione della nuova logica è stato il ricorso alla formalizzazione. L'analisi dei nessi di conseguenza non riguarda piú gli enunciati del linguaggio naturale, bensí gli enunciati di opportuni linguaggi formali, che del linguaggio naturale evitano le ambiguità, le indeterminatezze e le complicazioni indebite.

Una volta fissato un certo linguaggio formale, si formulano poi, in termini puramente sintattici, regole algoritmiche che consentono di derivare enunciati da altri enunciati. Le regole devono essere tali che, se consentono di derivare E da E1,... En, allora E è conseguenza logica di E1,... En. Regole che soddisfino questa condizione, si dicono "corrette" Il problema fondamentale che si pone a questo punto è se, oltre che corrette, le regole di derivazione possano essere anche complete, se cioè possano essere formulate in modo tale da permettere di derivare E da E1,... En, tutte le volte che E è conseguenza logica di E1,... En (completezza/ correttezza). Per la cosiddetta logica dei predicati del primo ordine - che è, in un certo senso, il cuore della logica formale come oggi la si intende -, questo problema ammette una soluzione positiva.

La logica dei predicati del primo ordine è la logica dei linguaggi in qui si possono costruire enunciati complessi a partire da enunciati semplici solo introducento connettivi verofunzionali o quantificatori che operano su individui. (Il frammento della logica dei predicati che codifica le relazioni di conseguenza logica determinate dal significato dei connettivi è noto come logica proposizionale. La dicitura "logica dei predicati del primo ordine" allude al fatto che si considera qui soltanto la quantificazione su individui: le logiche che contemplano anche la possibilità di quantificare su proprietà di individui, proprietà di proprietà di individui, ecc. sono chiamate logiche di ordine superiore).

Come si è detto, dunque, per la logica dei predicati del primo ordine il problema della completezza ha soluzione positiva: si può formulare un sistema di regole tale che, se E, E1,... En, sono enunciati di un linguaggio del tipo descritto, E è conseguenza logica di E1,... En, se e soltanto se E è derivabile da E1,... En, in base alle regole.

Il primo sistema di regole completo per la logica dei predicati è quello proposto da Gottlob Frege nella sua Ideografia [1879].
La dimostrazione del fatto che sistemi del genere sono effettivamente completi fu pubblicata da Kurt Gòdel nel 1930, e costituisce uno dei risultati capitali della logica contemporanea. (Lo stesso Gòdel dimostrò che le logiche di ordine superiore sono invece incomplete).

La logica dei predicati del primo ordine deve la sua centralità al fatto di codificare una relazione di conseguenza che si basa sulla nozione tradizionale di verità e che bisogna prendere per buona se si vogliono giustificare i modi di ragionare impiegati di solito in matematica: a questo ci si riferisce oggi quando si parla di logica classica. Sono però possibili anche delle alternative. Un esempio di particolare interesse è quello della logica intuizionista, che trae la sua motivazione dall'originale filosofia della matematica di J. E. Brouwer. Nella logica intuizionista, alcune leggi della logica classica (come la legge del terzo escluso: "A oppure non A") vengono lasciate cadere. Se la logica intuizionista costituisce un'alternativa alla logica classica, altri sistemi di logica ampiamente studiati sono invece estensioni della logica classica: è il caso delle logiche modali (che cercano di fare luce sui nessi deduttivi in cui sono coinvolti i concetti di necessità, possibilità, e simili), delle logiche temporali (che tengono conto del fatto che il valore di verità di un enunciato
può variare con il tempo), delle logiche epistemiche (logiche del conoscere e del credere), ecc.

Sistemi logici di questo tipo sono spesso classificati sotto la rubrica logica filosofica, che alcuni giudicano però un po' fuorviante. In effetti, sarebbe un errore pensare che esista oggi una contrapposizione netta tra logica matematica e logica filosofica: per un verso, tutta quanta la logica ha, ovviamente, una grande rilevanza filosofica; per un altro verso, anche nell'ambito della cosiddetta logica filosofica si lavora ormai con strumenti matematici.

La metalogica è lo studio delle proprietà dei sistemi logici: un tipico esempio di risultato metalogico è la dimostrazione gódeliana, citata sopra, della completezza della logica dei predicati del primo ordine. In realtà, la costruzione di nuovi linguaggi formali e la formulazione di nuovi sistemi di derivazione logica costituisce solo una parte (quantitativamente neppure tanto importante) dell'attività dei logici contemporanei, i quali si cimentano per lo piú appunto con questioni di indole metalogica.

Due aree di ricerca tradizionalmente molto coltivate sono quella della teoria della dimostrazione e quella della teoria dei modelli. Nella prima ci si mantiene ad un livello puramente sintattico, mentre nella seconda si tiene conto della dimensione semantica e si indaga la capacità dei diversi linguaggi formali di descrivere strutture. Nei manuali di logica compaiono poi spesso sezioni dedicate alla teoria degli insiemi e alla teoria della ricorsività. Si tratta di due discipline matematiche autonome, ma è indubbio che i loro legami storici e teorici con la logica sono profondi.

Sebbene nessuno, oggi, consideri piú la teoria degli insiemi parte della logica, non si può dimenticare che agli occhi di autori come Frege e Russell logica e teoria degli insiemi erano sostanzialmente tutt'uno. In seguito, concetti e tecniche insiemistiche hanno continuato a svolgere in logica un ruolo preminente, e lo studio dell'organizzazione logica della teoria degli insiemi ha condotto ad alcuni dei risultati piú notevoli della matematica novecentesca, come quelli concernenti la cosiddetta ipotesi del continuo. Quanto alla teoria della ricorsività – che offre un'esplicazione rigorosa della nozione di algoritmo e che fornisce alla computer-science le coordinate concettuali più astratte e generali – consente la formulazione precisa e la soluzione di problemi metalogici cruciali. Ad es., è con i metodi della teoria della ricorsività che, negli anni Trenta, A. Church e (indipendentemente) A. Turing dimostrarono l'indecidibilità della logica dei predicati del primo ordine: non esiste nessun metodo puramente meccanico che, per ogni scelta E, E1,... En, di enunciati della logica dei predicati, consenta di decidere in un numero finito di passi se E è derivabile da E1,... En, oppure no.

Complessa è la vicenda dei rapporti tra logica e studio del linguaggio naturale. Il ricorso alla formalizzazione veniva spesso motivata, dai pioneri della logica moderna, sottolineando l'imperfezione e l'inaffidabilità del linguaggio naturale; la contrapposizione tra linguaggio naturale e linguaggi formalizzati – fonte di pseudoproblemi filosofici il primo, strumenti di chiarificazione i secondi – è stato poi uno dei temi prediletti del neopositivismo. Dal canto loro, i linguisti hanno a lungo ignorato ciò che i logici andavano facendo. Chomsky, nella prima fase delle sue ricerche, si è rifatto a nozioni e metodi della teoria della ricorsività nell'elaborare l'idea di grammatica come algoritmo generante tutte e sole le frasi di una lingua, sebbene fin dall'inizio abbia fermamente rifiutato qualsiasi assimilazione frettolosa delle lingue naturali ai linguaggi formali dai logici. Relativamente recente è l'idea che l'apparato tecnico-concettuale della logica (in particolare, della teoria dei modelli) possa essere direttamente utilizzato per l'analisi semantica del linguaggio naturale, come accade nella grammatica di Montague.