Henry Poincaré

Biografia

Nato nel 1854 a Nancy, compie i primi studi nella sua città natale; in seguito, partecipa ai concorsi per l'ammissione a l'École Polytechnique ed a l'École normale superieure, (li vince entrambi ma sceglierà la prima delle due grandi scuole) e nel 1879, a venticinque anni, è dottore in matematica, iniziando lo stesso anno a insegnare all'Università di Cannes. Da questo momento la carriera universitaria è lineare e dura per tutta la vita. Sono trentuno anni di impegno accademico ininterrotto, segnati sostanzialmente da due importanti passaggi. Il 1886 è l'anno in cui Poincaré passa dall'insegnamento di Analisi matematica a quello di Fisica matematica e Calcolo delle probabilità. Un decennio, in questa cattedra, che dura fino al '96. E dal '96 inizierà a insegnare Astronomia matematica e Meccanica celeste. Sono i due importanti momenti di passaggio della sua carriera universitaria. C'è senza dubbio uno spostamento di interessi. Non a caso la biografia intellettuale di Poincaré è divisa in questi tre ambiti: analisi matematica, quindi matematica pura, fisica matematica e studi sulla meccanica celeste e rapporto fra meccanica celeste e fisica contemporanea. E lo stesso Poincaré, quando pensò alla sua biografia scientifica, divise la sua opera in questi tre grandi settori. Una divisione che è anche segno del mutamento dei suoi interessi, mutamento che, bisogna sottolineare, è spesso casuale, dovuto a incontri, ad eventi significativi della sua vita, che hanno modificato la sua formazione e i suoi studi. Comunque, in tutte e tre questi settori, i contributi di Poincaré sono della massima importanza. Probabilmente nessuno scienziato oggi potrebbe ripercorrere l'intera quantità di studi e settori di ricerca di Poincaré: la varietà delle sue ricerche è tale da stupire uno scienziato contemporaneo. Le sue memorie scientifiche sono quasi cinquecento e le Oeuvres scientifiche, che raccolgono l'insieme della sua produzione scientifica consistono di undici volumi - dieci dei quali interamente legati alla sua opera - di diecimila pagine. Dunque non è possibile sintetizzare la sua produzione in breve. Bisogna dire che il suo atteggiamento è un atteggiamento matematico, il suo stile è uno stile matematico e questo rimane fermo in tutta la sua produzione. E fin dall'inizio delle sue ricerche - la sua tesi di dottorato è del 1879 - i problemi sono i problemi di un matematico che assume al centro l'analisi matematica e che assume come centrale la tendenza alla generalizzazione matematica. La sua ricerca, che sarà poi quella che gli darà maggior successo come matematico, consisterà, appunto, nel risolvere ed integrare alcune equazioni differenziali e portare ad alcune soluzioni alcune funzioni - le funzioni "automorfe" - ricerca, questa, che è già interessante per la sua filosofia, perché Poincaré in questo caso utilizza una geometria non euclidea per la soluzione di un problema di analisi matematica

Nelle sue ricerche matematiche fa uso di soluzioni basate sulle geometrie non euclidee. Di che tipo di geometrie si tratta?

Si tratta di geometrie che non accettano il quinto postulato di Euclide, quello sulle rette parallele e che utilizzano quindi degli spazi curvi, o ellittici o iperbolici. La prima delle geometrie non euclidee fu quella di Lobacevskij ed è una geometria iperbolica e fu quella utilizzata da Poincaré per la soluzione di un problema di analisi matematica. Questo collegamento fra geometria ed analisi rappresenta un po' anche il segno della sua riflessione epistemologica e lo porta ad entrare in contatto con la scuola matematica europea. In questo gioca la casualità dei rapporti: entrò in relazione con alcuni matematici tedeschi, in particolare con Felix Klein, che in questo periodo stava sviluppando un programma di riduzione della geometria all'analisi algebrica, cioè di rigorizzazione di alcuni problemi di analisi matematica. Poincaré utilizza con Klein la teoria dei "gruppi di trasformazioni", cioè sostiene che, a partire dalle operazioni di un certo gruppo, si possono costruire delle geometrie che studiano le proprietà invarianti delle figure rispetto al gruppo di trasformazioni scelto. Con questo meccanismo di studi analitici, Poincaré sviluppa una serie di scoperte in campo matematico; ma la cosa interessante è che in questo modo Poincaré esce dal carattere un po' chiuso della scuola matematica francese ed entra in contatto con Klein, ma anche con altri matematici di grande rilievo, come Abel, il fondatore della teoria dei "gruppi di trasformazioni", ed entra in contatto anche con il dibattito sulle geometrie non euclidee e sui fondamenti delle matematiche. Dalla matematica agli studi di fisica matematica il passo è breve. C'è un passaggio quasi necessario dalla matematica alla fisica matematica ed in questo campo Poincaré ha fornito vari contributi.Ricordare i suoi studi di meccanica dei fluidi, che hanno un particolare interesse per la definizione della soluzione matematica della rotazione della terra, cioè per fornire un calcolo sul problema della terra come fluido rotante. Si tratta di un vecchio problema, sollevato già da Newton, che Poincaré contribuisce a risolvere. Ma il problema più importante di fisica matematica, che Poincaré pone, è il cosiddetto problema dei "tre corpi". quello che gli permette di ottenere il premio del re Oscar II di Svezia nel 1889 (non esisteva ancora il premio Nobel). Si trattava, in altri termini, di fornire delle soluzioni matematiche al problema astro-fisico della stabilità del sistema solare dove si danno tre o più corpi che interagiscono con perturbazioni gravitazionali che modificano le traiettorie teoriche dei corpi considerati. In altri termini, le traiettorie effettive dei corpi celesti del sistema solare non corrispondono alle tre traiettorie teoriche, perché si danno delle perturbazioni gravitazionali. Ora, quali sono le soluzioni matematiche che possono permettere di includere queste perturbazioni all'interno delle traiettorie? Il problema è addirittura un problema di origine teologica, che nasce con Newton e con Leibniz. Alexandre Koyré ha ricordato che Newton sosteneva l'idea del cosiddetto "Dio dei giorni feriali" ovvero di un Dio che interviene correggendo le perturbazioni via via che esse si producono. Leibniz invece sosteneva il cosiddetto "Dio dello Shabbaz", cioè il Dio che interviene all'inizio e che predispone la correttezza del sistema astronomico. Naturalmente Poincaré fornisce soluzioni matematiche, non teologiche e le sue soluzioni, che sono tre, - una periodica, che quindi considera la possibilità del ritorno dei corpi alle stesse posizioni alle stesse velocità relative, una asintoticamente periodica, che considera la possibilità di un avvicinamento sempre più costante al caso periodico ed un'altra, doppiamente asintotica, che considera le traiettorie prossime a quelle periodiche, soltanto per casi di futuro molto lontano e di passato, anch'esso molto lontano - sono state considerate da uno dei membri della commissione giudicante, Karl Weierstrass, come una pubblicazione destinata ad aprire un'era nuova nella storia della meccanica celeste.

Si sosteneva che Poincaré avesse negato l'irreversibilità della freccia del tempo. In che cosa consisteva la tesi di Boltzmann relativa all'irreversibilità della freccia temporale e che cosa significa "freccia temporale"?

Sostanzialmente questa tesi si basa sul secondo principio della termodinamica e sulla irreversibilità dei processi entropici nell'universo e afferma quindi la non utilizzabilità delle leggi della meccanica per i processi di un sistema fisico chiuso, di un sistema energetico. In termini più semplici, "irreversibilità della freccia temporale" significa il fatto che per una parte della fisica il tempo va soltanto in una direzione, cioè non si può tornare indietro nel tempo, fatto che a noi appare ovvio, ma che per un fisico non è. "Entropia" significa la degradazione dell'energia ed un sistema entropico tende alla degradazione dell'energia. Il teorema di Poincaré, con la sua periodicità, poteva essere utilizzato per negare l'affermazione dell'irreversibilità della freccia temporale. Poincaré interviene e sostiene che il suo teorema vale soltanto sul piano matematico e non mette in dubbio il secondo principio della termodinamica. Naturalmente, nel campo della fisica matematica, sono ancora altri gli approcci significativi di Poincaré. In particolare si può pensare all'elettromagnetismo. La diffusione dell'elettromagnetismo in Europa è dovuta in gran parte a Poincaré e l'uso della teoria dell'elettrone, del fisico danese Lorentz, viene potenziata matematicamente dallo stesso Poincaré. Questo porrà una serie di problemi di tipo strettamente fisico, che porteranno comunque Poincaré ad elaborare il cosiddetto "postulato di relatività". In altri termini, Poincaré sostiene che le leggi della fisica rimangono identiche in qualsiasi sistema di riferimento inerziale e che quindi è impossibile misurare movimenti assoluti. Questa affermazione viene considerata da una legge generale della natura, cioè un'evidenza sperimentale. Si può dire che Poincaré arrivi al postulato di relatività parallelamente ad Albert Einstein, naturalmente in un quadro diverso, perché Poincaré sostiene il postulato di relatività come evidenza sperimentale e non come teoria della relatività. In altri termini, Einstein muterà il quadro di riferimento della fisica classica, mentre Poincaré si mantiene all'interno di quel quadro di riferimento, accetta i principi della meccanica newtoniana e li modifica soltanto in parte. Naturalmente la morte, sopraggiunta a Parigi nel 1912, impedisce a Poincaré di conoscere gli esiti della teoria relativistica, anche se, nel 1905, contemporaneamente alla sua opera Sur la dynamique de l'électron, vengono pubblicati i primi articoli di Einstein sulla teoria della relatività ristretta. Tuttavia, Poincaré non seguirà, appunto, il percorso einsteiniano. Ma il ruolo di Poincaré nella fisica contemporanea è importante per quanto riguarda la meccanica quantistica. Egli partecipa, verso la fine della sua vita, nel 1911, al primo Congresso "Solvay". Si trattava di uno dei primi Congressi, ce ne saranno poi tanti, che mettono insieme i maggiori fisici del tempo su problemi cruciali, come era quello della teoria dell'irraggiamento e della soluzione del problema offerta da Max Planck attraverso l'introduzione del cosiddetto "quantum" di energia, della discontinuità del processo di irraggiamento. La discussione è particolarmente accesa in questo congresso e Poincaré sostiene l'ipotesi di Planck, anche con un teorema matematico. Non ha, il suo teorema, una rilevanza significativa negli sviluppi della meccanica quantistica, ma ha una rilevanza storica, in quanto permette di accettare la meccanica quantistica anche ai fisici non tedeschi. C'era un problema di comunicazione e di diffusione e Poincaré, ben noto a suo tempo, avallando la meccanica quantistica, la rende accettabile anche ai fisici tedeschi. Sarà il suo ultimo grande impegno scientifico. Nel '12 morirà per i postumi di un'operazione alla prostata.

L'influenza dell'attività scientifica di Poincaré sulle sue idee epistemologiche e filosofiche.

Malgrado Poincaré rimanga uno scienziato militante fino al 1912 (l'ultimo articolo viene pubblicato nel marzo del '12), affronta problemi epistemologici già dal 1887 e la sua produzione epistemologica è legata alla sua produzione scientifica. I problemi sono quindi, sostanzialmente, problemi di riflessione sulla geometria, sul rapporto fra geometria euclidea e geometrie non euclidee, sulla matematica e sui fondamenti della matematica e sulle teorie scientifiche, più in generale. Si può dire, che siano questi tre gli ambiti di riflessione di Poincaré. Dunque, si può parlare di una filosofia scientifica, anche se non la si trova in maniera organizzata, ma in saggi ed articoli sparsi raccolti successivamente nelle quattro opere epistemologiche di Poincaré: La scienza (1902), Il valore della scienza (1905), che è senz'altro l'opera più famosa, Scienza e metodo (1908) e, infine, l'ultima opera, pubblicata postuma, Ultimi pensieri (1913). In queste quattro opere è racchiusa un po' tutta la sua produzione epistemologica e filosofica, che si snoda attraverso un percorso che lo porta dalla filosofia della geometria ad occuparsi di alcune questioni di fondamenti della matematica e anche di epistemologia della scienza in senso più lato. I suoi primi interessi sono interessi di epistemologia della geometria, il suo primo articolo è infatti del 1887 e si intitola "Sulle ipotesi fondamentali della geometria". Cosa sostiene in sintesi Poincaré? Che le geometrie sono lo studio di movimenti che mantengono inalterati certi rapporti, che i postulati delle geometrie sono semplici ipotesi e che quindi le geometrie si differenziano soltanto nel diverso modo di definire la distanza. Nessuna geometria, in altri termini, è più vera o più falsa di un'altra. L'unico dato sperimentale che noi abbiamo, rispetto alla costruzione degli spazi geometrici è l'esistenza dei corpi rigidi. In altri termini, se non esistessero corpi rigidi in natura non esisterebbero geometrie. Dunque, da che cosa è guidata la nostra scelta dinanzi ai possibili spazi geometrici, ai vari spazi geometrici, che possono essere costruiti in maniera convenzionale? E' legata alla comodità, alla semplicità, alla coerenza logica; è quindi sulla base di questi criteri che si può decidere per la validità o meno di una geometria. In questo caso, Poincaré, già in questo articolo del 1887- ed è una posizione che rimarrà stabile per tutta la sua riflessione - parla del criterio di comodità, cioè di quel criterio che lo porterà a sostenere la geometria euclidea: essa non è più vera delle altre, ma è più comoda e quindi va mantenuta come tale.

Il concetto di "comodità".

La geometria euclidea, secondo Poincaré, è più comoda per il nostro uso dello spazio quotidiano ed è più comoda anche per la nostra costruzione di spazi matematici. Ma questo proprio perché in tutta la fase della riflessione di Poincaré, fino alla Teoria della relatività generalizzata, che però viene diffusa dopo la morte di Poincaré, non c'era stato ancora un uso empirico di geometrie non euclidee. Quindi, sostanzialmente, Poincaré è debitore di una visione, che è quella della comunità scientifica del suo tempo, secondo la quale la comodità della geometria euclidea è garantita anche per quanto riguarda le teorie fisiche e la dimensione sperimentale. Naturalmente questo è dovuto anche a un dibattito epistemologico e filosofico particolarmente diffuso e ricco, in Francia, a partire dal 1866, cioè dalla diffusione in Francia della conoscenza delle geometrie non euclidee ed è un dibattito che vede filosofi e scienziati di rilievo confrontarsi. In generale i filosofi sono molto restii ad accettare le geometrie non euclidee, per la ragione che vengono considerate, appunto, degli esercizi immaginari, delle supposizioni immaginarie. La concezione che i filosofi e anche una parte del mondo scientifico ha delle geometrie non euclidee è quella di puri giochi immaginari, che non hanno alcuna possibilità di incidere sulle nostre conoscenze del mondo fisico, dello spazio fisico. Poincaré, invece, contrasta questa posizione perché sostanzialmente ritiene che le geometrie non euclidee siano, come la geometria euclidea, possibili forme di costruzione di spazi geometrici. Egli ha già messo in pratica questa sua teoria con l'uso della geometria di Lobacevskij, per risolvere problemi di analisi matematica. Quindi è possibile utilizzare geometrie non euclidee per risolvere problemi di analisi matematica. Esse non sono solo delle pure immaginazioni, dei puri giochi e questa posizione è propria anche della parte più attenta della comunità matematica europea, della quale Poincaré si fa interprete. Naturalmente in Francia il dibattito è in parte egemonizzato dai filosofi, basti pensare a Charles Renouvier, che era un filosofo di orientamento kantiano, che sosteneva, appunto, il carattere assurdo delle premesse delle geometrie non euclidee. Ci sono alcuni geometri e matematici che contrastano con queste posizioni, come George Lechalas che utilizza l'articolo di Poincaré proprio a sostegno della sua tesi. E Poincaré interverrà in questo dibattito con vari saggi e articoli e interverrà sempre a difesa del valore delle geometrie non euclidee e della negazione della geometria come scienza sperimentale. In un certo senso, il convenzionalismo di Poincaré è coerente con certi presupposti kantiani. Poincaré non accetta il kantismo nella sua forma tradizionale, ma sostenendo che esiste una scelta di gruppi di trasformazioni, a partire dai quali vengono elaborate delle geometrie, accetta l'esistenza di un "a priori", che è un "a priori" mentale e che costituisce la forma della nostra conoscenza spaziale. Non si tratta dell'"a priori" come intendeva Kant, cioè quello dato dalla geometria euclidea, ma di un'altra concezione dell'"a priori", in accordo alla quale i gruppi di trasformazione sono virtualmente esistenti, innati nel nostro intelletto e da questi gruppi sono possibili varie geometrie e varie concezioni dello spazio fisico. La scelta è in parte convenzionale, cioè è data da criteri di comodità, ma esistono questi invarianti universali. In questo, la posizione di Poincaré può considerarsi una sorta di kantismo indebolito.

Dibattito logico-filosofico sui fondamenti della matematica.

Poincaré sostiene il carattere autonomo delle matematiche. In altri termini, Poincaré non accetta le posizioni del cosiddetto logicismo, fatto proprio soprattutto da Bertrand Russell, ma anche da Gottlob Frege e dall'italiano Giuseppe Peano, secondo il quale gli enti matematici sono riducibili ad entità logiche. Secondo Poincaré la matematica si costruisce a partire da due punti, da due momenti: quello dei numeri naturali e quello del cosiddetto principio di induzione matematica. I numeri naturali sono intesi come enti "predicativamente" definibili. Ogni ente matematico, per Poincaré, deve essere predicativamente definbile e perciò egli non accetta l'esistenza di concetti che abbiano delle definizioni "impredicative". Ora, si ha una definizione "impredicativa" quando, nel definire un certo ente matematico, si fa riferimento ad una totalità a cui lo stesso ente appartiene. Le definizioni impredicative abbondavano nella nascente teoria degli insiemi nei confronti della quale Poincaré è molto critico: alla base della matematica ci sono i numeri naturali e non gli insiemi. Il principio fondamentale riguardante i numeri è il principio d'induzione completa secondo cui una proprietà vale per tutti i numeri naturali quando si verificano simultaneamente le due seguenti cose: essa vale per lo zero, e vale per il numero "n + 1" ogniqualvolta vale per il numero "n". Tutto questo porta Poincaré a sostenere che c'è un'apoditticità della matematica, basata su un concetto che rinvia al nostro intelletto, che è appunto il principio di induzione completa. Anche per quanto riguarda le matematiche, Poincaré salva un assunto del kantismo, cioè la possibilità che l'aritmetica, in questo caso, venga ricondotta ad un assioma che è proprio del nostro intelletto. Esso è l'assioma di induzione completa, così come per la geometria e per l'analisi gli assiomi di riferimento sono quelli che definiscono il concetto di gruppo. Quindi questi assiomi, quello di induzione completa e quelli di gruppo sono sufficienti a fondare da un lato l'aritmetica e dall'altro, l'analisi e la geometria. In questo Poincaré si muove all'interno di una prospettiva ancora kantiana. In un certo senso, si può dire che questi assiomi prendono il posto delle categorie kantiane e naturalmente c'è un elemento di convenzionalità che viene introdotto da Poincaré ed è quello della costruttività del matematico che, partendo da questi assiomi, può elaborare, ad esempio per quanto riguarda la geometria, geometrie diverse. Ma il concetto di gruppo è innato nella mente. Il matematico costruisce come un ingegnere, a partire però da una struttura potenziale dell'intelletto che è propria di tutti gli uomini. Tuttavia la capacità del matematico è quella di costruire, di creare teorie nuove, a partire da quella struttura.

Lorentz

Sostanzialmente Lorentz aveva introdotto una teoria dell'elettrodinamica, che partiva dall'elettromagnetismo e che si fondava sull'idea di elettrone come particella materiale che è inserita in un campo elettromagnetico. Naturalmente non è l'elettrone che verrà visualizzato dalla fisica atomica e quindi è anch'esso una componente teorica di questa posizione. L'elettromagnetismo - questa teoria dell'elettrone di Lorentz, resa matematicamente più consistente proprio da Poincaré - intendeva risolvere i problemi classici della fisica newtoniana eliminando il concetto di azione a distanza. Di conseguenza venivano utilizzati i concetti elettromagnetici, però si manteneva il riferimento a un sistema inerziale, che era il cosiddetto etere. Sarà soltanto Einstein a rivoluzionare la fisica elettromagnetica negando l'esistenza dell'etere. L'etere era visto come un "medium", che poteva spiegare, questo vale fin da Newton, l'azione a distanza dei corpi. Poincaré ammette l'esistenza del sistema di riferimento dell'etere come puramente convenzionale e nello stesso tempo, però, utilizza il gruppo di trasformazioni che elimina l'esistenza di un sistema di riferimento assoluto. In altri termini, Poincaré sostiene che i principi sono generalizzazioni di ipotesi, un piccolo gruppo di generalizzazioni di ipotesi che viene assunto come valido e rigoroso sul piano matematico e che non è messo in discussione dai dati sperimentali. Essi sono una specie di assiomi fisici e per esempio, il principio di azione a distanza è uno di questi, come lo sono tutti i principi accettati dalla fisica classica. La cosa interessante è che questi principi interagiscono con i risultati sperimentali e interagiscono in una dialettica che possiamo definire di tipo storico, nel senso che a questi principi convenzionali corrispondono dei dati sperimentali che crescono in quantità e che producono un processo di generalizzazione della conoscenza fisica e che possono anche mettere in questione l'orizzonte teorico. Se pure Poincaré cercherà fino in fondo di "salvare" la meccanica classica e il sistema di equazioni differenziali che regge la meccanica classica, alla fine, negli ultimi anni - ed è questo un elemento di straordinaria grandezza per uno scienziato, un pensatore - metterà in discussione il suo sistema di riferimento, nel senso che accetterà che la fisica dei principi possa essere accantonata, possa essere superata. E' quello che avviene con la sua riflessione sulla meccanica quantistica, con la sua accettazione di quest'ultima. La meccanica quantistica, infatti, mette in discussione innanzi tutto il sistema di equazioni differenziali nel senso che produce una spiegazione dei fenomeni fisici in termini statistici. E ciò contraddice con la fisica matematica intesa come sistema di equazioni differenziali. Per quanto riguarda la fisica classica, lo stesso Poincaré fornisce un esempio: la cosiddetta soluzione del problema dei tre corpi è una soluzione che si dà attraverso equazioni differenziali; quindi il problema, in questo caso, è risolvibile con gli strumenti della matematica, dell'analisi. Per quanto riguarda la meccanica quantistica basta ricordare il famoso Principio di indeterminazione di Heisenberg che nega la possibilità di conoscere nello stesso tempo la quantità di moto e la posizione dell'elettrone come un principio che nega che si possa risolvere in una legge matematica la conoscenza di due parametri fisici essenziali come la velocità e la posizione.

La valeur de la science

La posizione di Poincaré è la posizione di un grande scienziato legato alla tradizione della scienza moderna e al principio della fondamentale unità della scienza, almeno fino agli ultimi anni. C'è un libro che può essere assunto ad esempio di quanto queste posizioni abbiano pesato epistemologia contemporanea ed è La valeur de la science, che raccoglie saggi ed articoli di vario periodo, pubblicati tra 1897 e il 1904 e che diventa presto uno dei testi più importanti della comunità filosofica ed epistemologica europea. Tralasciando le riflessioni sulla matematica e sulla fisica, e guardando alla sua filosofia generale della scienza, si può dire che Poincaré scrive e pubblica questo libro perché ritiene di essere stato frainteso, ritiene che il libro precedente, La science et l'hypothèse, sia stato considerato come un testo di convenzionalismo ed un esempio di un'epistemologia convenzionalista. Ci sono dei pensatori in Francia in quel periodo, che sono di origine spiritualista, legati in particolare ad Henry Bergson e al bergsonismo. Uno di essi è Edouard Le Roy, un filosofo della matematica - un matematico lui stesso oltre che un filosofo della religione - che utilizza le tesi di Poincaré per consolidare posizioni nominaliste e convenzionaliste, sostenendo che la scienza è esclusivamente frutto della creazione degli scienziati, cioè che non c'è nessun riferimento tra le teorie scientifiche e la realtà e il dato. Poincaré teme questo fraintendimento, nega appunto che la scienza non abbia valore conoscitivo e sostiene invece che, sì, gli scienziati posseggono una loro creatività, che è una creatività linguistica, che costruiscono linguaggi matematicamente coerenti e comodi, però esiste sempre un'invariante universale, che permette la traducibilità dei linguaggi sia all'interno della comunità scientifica, quindi da una teoria scientifica a un'altra, sia tra i fatti scientifici e i cosiddetti fatti bruti. In altri termini, sembra possibile trovare degli elementi di traducibilità tra quello che è il linguaggio scientifico e le relazioni oggettive dei fatti bruti. Quindi esiste per Poincaré un'oggettività, se pure un'oggettività che non si fonda sulla conoscenza singola del fatto bruto, del dato sperimentale preso in sé, ma sulla conoscenza del sistema di relazioni che regola i fatti bruti. E questo sistema di relazioni per Poincaré è sostanzialmente dato dalla matematica, è sostanzialmente quello delle leggi matematiche. C'è quindi un'oggettività, c'è un valore della scienza, perché la scienza possiede questa capacità di pervenire a un sistema di conoscenze oggettive sulle relazioni dei fenomeni e questa capacità è ciò che la distingue da altri linguaggi, da altre forme di creatività. In questo Poincaré non è un convenzionalista coerente come lo sono alcuni interpreti; L'opera: La valeur de la science è stata davvero molto letta, sia all'interno della cultura filosofica francese, sia fuori della Francia; in Francia ci sono varie interpretazioni. Oltre a quella di Le Roy, cioè l'interpretazione nominalista, ci sono letture anche più classiche come quella per esempio di Léon Brunschvicg che da un punto di vista storicista, anzi empirista, accoglie alcune tesi, di Poincaré. Sostanzialmente le tesi di Poincaré sono le tesi antiempiriste e sono tesi che risentono di un certo kantismo depotenziato che era abbastanza diffuso nella cultura francese di fine Ottocento e di inizio Novecento.Il pensatore-poeta Paul Valéry che ha lasciato una quantità sterminata di appunti di riflessioni nei suoi Cahiers e che è stato un grande conoscitore della matematica, della fisica, delle scienze del primo Novecento, vede in Poincaré un modello di scienziato, un punto di riferimento, anche teorico. Sostanzialmentele le riflessioni di Valéry sono simmetriche a quelle di Poincaré, riflette sugli stessi problemi: sulle geometrie, sulle matematiche, su che cos'è una teoria fisica, anche se in parte arriva a conclusioni diverse; questo per dire quanto abbia pesato la lettura di quest'opera e, in genere, la filosofia di Poincaré nella cultura filosofica francese. Ma la cosa più interessante forse è la ricezione dell'opera fuori della Francia, in quello che sarà il punto di coagulo dell'empirismo logico. Noi sappiamo che la prima fase dell'empirismo logico è quella che si produce già dal 1907 a Vienna; ecco, questi giovani studiosi, che affrontano i problemi di fondazione delle scienze, leggono La valeur de la science, leggono le opere di Poincaré insieme a quelle di altri lumi tutelari come Ernst Mach. Philip Frank, uno dei maggiori protagonisti dell'empirismo logico, sosterrà che l'empirismo logico ha composto insieme, il principio di economia machiano e l'accentuazione convenzionale data dal costruttivismo di Poincaré, indicando un debito teorico nei riguardi di Poincaré, come un debito importante per la fondazione dell'empirismo logico. In altri termini Poincaré viene visto come un teorico del nuovo positivismo.

Poincaré è stato un po' al limite della modernità e si trova un po' sulla soglia di quello che sarà il pensiero epistemologico contemporaneo: è forse il primo epistemologo, ma è anche l'ultimo scienziato moderno e ciò lo allontana da una certa tradizione epistemologica, come quella di Kuhn e di Feyerabend. Bisogna però anche dire che forse in alcune direzioni di riflessione epistemologica il pensiero di Poincaré può essere riconsiderato perché, se ci sono dei limiti e c'è una storia dell'epistemologia del Novecento e se questa storia ultimamente può anche essere indicata come la storia del declino dell'epistemologia, allora è possibile un ritorno a una riflessione di tipo gnoseologico più ampio, cioè una riflessione nella quale non si dà l'epistemologia come settore a se stante. Certamente, il kantismo di Poincaré rimane l'elemento di modernità del suo pensiero e in qualche modo anche quello che fa più contrasto con le posizioni più avanzate dell'epistemologia contemporanea, ma abbiamo ancora versioni del kantismo nell'epistemologia contemporanea e queste posizioni non si possono considerare del tutto "derimées", del tutto "cadute".