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Il Teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. |
Origine
Il Teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora, ma in realtà era già noto agli egizi e ai babilonesi, e probabilmente era conosciuto anche in Cina ed in India.
Il ritrovamento di alcuni reperti ha convalidato la tesi secondo cui il teorema era noto anche prima della nascita di Pitagora.
Enunciato
- In ogni triangolo rettangolo la somma delle superfici dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente alla superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa.
Dato un triangolo rettangolo BAC retto in A, allora:
- BC2 = AB2 + AC2
Dimostrazione
La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale.
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono molte altre dimostrazioni, opera di astronomi, agenti di cambio, e anche una di Leonardo da Vinci. Probabilmente, insieme alla "reciprocità quadratica", si contende la palma del teorema con più dimostrazioni in assoluto.
Dimostrazione di Perigal |
Dimostrazione di Airy |
Dimostrazione di Garfield |
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Esaminiamone alcune interessanti. Quella proposta nel 1873 dall'agente di cambio Henry Perigal, si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura.
Esiste anche una dimostrazione in forma poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:
- "I am, as you can see,
a2 + b2 - ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'd
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read."
di cui una traduzione letterale è
- "Come potete vedere, sono
a2 + b2 - ab
Quando ci sono due triangoli sopra di me
È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa
Ma se invece sto io sopra di loro
Si leggono i quadrati dei due lati"
I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.
Sia quella di Perigal che quest'ultima sono interessanti, in quanto sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.
Un'altra dimostrazione geometrica particolarmente significativa, in quanto nella costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America, solo per pochi mesi, tra l'altro, finendo assassinato...). Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: "Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo".
La dimostrazione è la seguente:
- consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura sopra il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si ottiene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli retti, si dimostra il teorema.
In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio
Una dimostrazione puramente algebrica fa uso dei numeri complessi e della formula di Eulero: siano a, b i cateti e c l'ipotenusa. Se i cateti sono allineati sugli assi, abbiamo
- a + ib = ceiè
Consideriamo ora il complesso coniugato della parte a sinistra:
- a – ib = ce –iè
Moltiplicando tra loro otteniamo
- a2 + b2 = c2
Teorema di Pitagora generalizzato
Restando nella geometria euclidea, si può generalizzare il teorema di Pitagora per un triangolo qualunque: la sua enunciazione si deve a Lazare Carnot, ed è noto come "teorema di Carnot".
