Proprietà distributiva

Per calcolare più facilmente l’espressione A = 57 x 968 + 43 x 968, è sufficiente applicare la proprietà distributiva, che ci permette di scrivere: A = (57 + 43) x 968 = 100 x 968. Troviamo allora il risultato: 96.800.
 
Quali sono le regole della proprietà distributiva e quando le possiamo applicare?
 

1. Regole della proprietà distributiva

Nei due paragrafi seguenti, a, b e k rappresentano dei numeri qualsiasi (“x” invece è il simbolo della moltiplicazione).
 

1.1. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

In questo caso vale la regola: k x (a + b) = k x a + k x b
che possiamo riscrivere, più semplicemente, omettendo il simbolo della moltiplicazione:
k (a + b) = ka + kb
 
Esempio: 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4
Si può verificare che: 2 x (3 + 4) = 2 x 7 = 14 e che: 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14.
 
Nota: La proprietà vale anche in ordine inverso: (a + b) x k = a x k + k
e, dunque: (a + b) k = ak + bk = ka + kb = k (a + b).
 

1.2. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione

In questo caso vale la regola: k x (a – b) = k x a – k x b
che si può scrivere come: k (a – b) = ka – kb
 
Esempio: 3 x (5 – 2) = 3 x 5 - 3 x 2
 
Nota: Vale anche: (a – b) x k = k – x k e, di conseguenza: (a – b) k = ak  bk = ka  kb = k ( b).
 

1.3. Generalizzazione

Le formule precedenti si generalizzano a un numero qualunque di termini nelle parentesi.
Esempio: 2 x (3 + 4 – 5) = 2 x 3 + 2 x 4 – 2 x 5
 

2. Esempi di applicazione della proprietà distributiva

2.1. Per aiutarci nel calcolo mentale

Primo esempio: Vogliamo calcolare: 25 x 11; 25 x 21 e 25 x 31. Possiamo procedere in questo modo:
25 x 11 = 25 x (10 + 1) = 25 x 10 + 25 x 1 = 250 + 25 = 275.
 
Allo stesso modo: 25 x 21 = 25 x 20 + 25 = 500 + 25 = 525.
25 x 31 = 25 x 30 + 25 = 750 + 25 = 775.
 
Secondo esempio: Vogliamo sapere quanto vale 24 x 9; 24 x 19 e 24 x 29.
Il metodo è uguale, ma questa volta si utilizza la sottrazione:
24 x 9 = 24 x (10 – 1) = 24 x 10 – 24 x 1 = 240 – 24 = 216.
 
Allo stesso modo: 24 x 19 = 24 x (20 – 1) = 24 x 20 – 24 x 1 = 480 – 24 = 456.
24 x 29 = 24 x (30 – 1) = 24 x 30 – 24 x 1 = 720 – 24 = 696.
 

2.2. Calcolare l’area della superficie laterale di un prisma retto
 



 
La figura 1 mostra lo sviluppo della superficie laterale di un prisma retto (ovvero, la superficie laterale del prisma come apparirebbe se venisse svolta e disposta su un piano). L’unità di misura della lunghezza è il centimetro.
 
Per calcolare l’area di questa superficie, dobbiamo effettuare il seguente calcolo:
24 x 14 + 24 x 19 + 24 x 12.
Ciò significa sommare le aree dei tre rettangoli.
 
È però molto più semplice calcolare:
24 x (14 + 19 + 12) = 24 x 45 = 1080.
L’area di questa superficie è uguale a 1080 cm².
 
Nota: (14 + 19 + 12) è la misura in centimetri del perimetro della base del prisma.
 

2.3. Calcolare l’area di una corona circolare

Vogliamo calcolare l’area di una corona circolare, come quella colorata di nero in figura 2. L’unità di misura della lunghezza è il centimetro, l’unità di misura dell’area è il centimetro quadrato.

 

 

L’area di questa figura è uguale alla differenza tra l’area del cerchio grande di raggio 3 cm e l’area di quello più piccolo di raggio 2 cm. Otterremo quindi:
 
area del disco grande: p x 3² = p x 3 x 3 = 9p ; area del disco piccolo: p x 2² = p x 2 x 2 = 4p ;
area della corona: 9p x 4p = (9 – 4) p = 5p.
 
L’area della corona è uguale a 5p cm².
Sapendo che p   3,14, possiamo trovare un valore dell’area uguale a circa 15,7 cm².
 
Nota: In generale, l’area di una corona circolare limitata da due cerchi concentrici di raggio, rispettivamente, R e r, è uguale a p R² – p r², che possiamo anche scrivere come: p (R² – r²).