Somma degli angoli interni di un triangolo

La somma dei tre angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°. Come si può utilizzare questa proprietà per calcolare l’ampiezza degli angoli di un triangolo?
 

1. Dimostriamo la proprietà

In figura 1, ABC è un triangolo qualsiasi. La retta (xy) è la parallela ad (AC) e passa per B.

 

 

Gli angoli e  sono alterni interni; quindi hanno la stessa ampiezza, proprio grazie al fatto che le rette (xy) e (AC) sono parallele. Dunque .
 
Allo stesso modo, gli angoli e hanno la stessa ampiezza. Quindi .
 
Sappiamo che , poiché è un angolo piatto.
 
Da ciò possiamo ricavare che, nel triangolo ABC, .
 

2. Calcoliamo gli angoli di un triangolo

2.1. In un triangolo qualsiasi

Esempio: Vogliamo calcolare l’angolo  del triangolo ABC di figura 2.

 

 

Applichiamo la regola:  + 114° + 25° = 180°.
Possiamo eseguire il calcolo:  + 139° = 180° e  = 180° - 139° = 41°.
 

2.2. In un triangolo rettangolo

La somma dei due angoli acuti di un triangolo rettangolo è uguale a 90°.
Prendiamo un triangolo ABC rettangolo in A.
Allora: Â = 90° e, sostituendo, ; risolvendo si ottiene che .
 
Esempio: Vogliamo calcolare l’angolo di un triangolo ABC rettangolo in A, rappresentato nella figura 3.

 

 

Applichiamo la regola che abbiamo trovato: ; poiché l’angolo in C è uguale a 57°, abbiamo: e . L’angolo misura 33°.
 
Nota: Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo e isoscele misurano ognuno 45°. Hanno la stessa ampiezza perché il triangolo è isoscele e la loro somma deve essere uguale a 90°, dato che il triangolo è rettangolo. Quindi, ognuno dei due lati acuti misura gradi, vale a dire 45°.

 

 

2.3. In un triangolo isoscele

Esempio: Vogliamo calcolare gli angoli  e di un triangolo ABC isoscele in C (figura 5).

 

 

Applichiamo la regola: . Siccome ABC è isoscele in C, abbiamo: .
Da questa informazione ricaviamo che:  + Â + 48° = 180°;
 
2 + 48°= 180°; 2 = 180°– 48°= 132° e . L’angolo  (e quindi l’angolo ) misura 66°.

 

2.4. In un triangolo equilatero

I tre angoli di un triangolo equilatero misurano tutti 60°. Infatti, hanno tutti la stessa ampiezza poiché il triangolo è equilatero e la loro somma è uguale a 180°.
L’ampiezza di ognuno degli angoli è esattamente uguale a gradi, vale a dire 60°.