Triangoli congruenti e triangoli simili

Due triangoli sono congruenti se sono perfettamente sovrapponibili. La nozione di triangoli congruenti si distingue da quella, più ampia, di triangoli simili: due triangoli sono simili se hanno gli angoli della stessa misura a due a due.
 

1. Dimostriamo che due triangoli sono congruenti

Due triangoli sono congruenti se sono sovrapponibili per scorrimento (traslazione o rotazione) o per ribaltamento (simmetria assiale o centrale).
 
Reciprocamente, se i triangoli ABC ed EFG sono congruenti, è allora possibile trovare una trasformazione o una sequenza di trasformazioni tali che l’immagine del triangolo ABC attraverso questa trasformazione sia il triangolo EFG.
 
Per dimostrare che due triangoli sono congruenti, utilizziamo uno dei tre criteri di congruenza enunciati qui di seguito.

 

 

Esempio: ABC è un triangolo scaleno, ABDE e BCFG sono due quadrati. Vogliamo dimostrare che i lati [CD] e [AG] hanno la stessa lunghezza.

 

 

Sappiamo che:
[AB] e [BD] sono due lati del quadrato ABDE, quindi AB = BD;
[BC] e [BG] sono due lati del quadrato ACFG, quindi BC = BG;
.
 
I triangoli ABG e BCD hanno un angolo della stessa misura compreso tra due lati rispettivamente della stessa lunghezza; quindi, in funzione del secondo criterio di congruenza dei triangoli, essi sono congruenti.
Si deduce che il lati [CD] e [AG] hanno la stessa lunghezza.
Notiamo che la trasformazione che fa passare dal triangolo BDC al triangolo BAG è la rotazione con centro in B, di un angolo di 90° in senso antiorario.
 

2. Dimostriamo che due triangoli sono simili

Si dicono simili (vale a dire, della stessa forma) due triangoli i cui angoli hanno la stessa ampiezza a due a due.
 
Per dimostrare che due triangoli sono simili, è sufficiente provare che due dei loro angoli hanno la stessa ampiezza; la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180°, quindi la terza uguaglianza segue automaticamente, senza bisogno di essere dimostrata.
 
Esempio: Siano A, B, C, D quattro punti di una circonferenza, e la corda [AC] incontri la corda [BD] nel punto I. Vogliamo dimostrare che i triangoli AIB e CID sono simili.

 

 

Gli angoli inscritti e intercettano il medesimo arco di circonferenza BC (sono angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco); hanno dunque la stessa ampiezza; lo stesso vale per gli angoli inscritti e .
I due triangoli AIB e CID hanno dunque due angoli rispettivamente della stessa ampiezza, quindi sono simili.
 
Nota: Per dimostrare che due triangoli sono simili, si può utilizzare anche il reciproco del teorema fondamentale dei triangoli simili (vedi sotto): se due triangoli hanno due lati corrispondenti di lunghezza proporzionale, allora sono simili.

 

3. Proprietà dei triangoli simili

In due triangoli simili, le lunghezze dei loro lati corrispondenti sono proporzionali. Tale teorema fondamentale permette di dimostrare l’uguaglianza dei rapporti.
 
Primo esempio:

 

 

ABC ed EFG sono due triangoli simili. Se chiamiamo k il rapporto delle lunghezze dei lati di tali triangoli, avremo:
.

Se k > 1, k è un coefficiente d’ingrandimento; se k < 1, k è un coefficiente di riduzione. Il rapporto delle aree dei triangoli EFG e ABC è quindi k2.

 

Secondo esempio:
 
Siano A, B, C, D quattro punti di una circonferenza, e la corda [AC] incontri [BD] nel punto I. Sia inoltre ID = 12 e IB = 36. Vogliamo mettere a confronto le aree dei triangoli ABI e CDI.

 

 

I due triangoli sono simili (come abbiamo visto nel paragrafo 2); i loro lati sono quindi proporzionali, ovvero: .

Il rapporto dell’area del triangolo ABI e dell’area del triangolo CDI è uguale a 32.
Quindi, area (ABI) = 9 x area (CDI).
 
Da ricordare:

● Se due triangoli hanno un angolo della stessa ampiezza, compreso tra due lati rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.
 
● Se due triangoli hanno un lato della stessa lunghezza, e i due angoli a esso adiacenti rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.
 
● Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.
 
● Due triangoli sono simili se, e solo se, la lunghezza dei loro lati corrispondenti è proporzionale.
 
● Se si definisce k il rapporto delle lunghezze dei lati corrispondenti di due triangoli simili, allora il rapporto delle aree dei triangoli è k2