Seno, coseno e tangente di un angolo in un triangolo rettangolo

 

La parola trigonometria deriva dal greco e significa “misura dei triangoli”. Il seno, il coseno e la tangente sono tre rapporti trigonometrici, ossia rapporti tra le misure degli elementi di un triangolo. Come possiamo calcolare questi rapporti e come li possiamo utilizzare?
 

1. Definizioni

Facciamo riferimento alla figura 1. Dato un triangolo ABC, rettangolo in B, consideriamo uno dei suoi angoli acuti, ad esempio. Il lato [BC] è il cateto opposto all’angolo , il lato [AB] è il cateto adiacente all’angolo .

 

 

Definiamo i tre rapporti seguenti:

 

Seno (sen o sin):

 

Coseno (cos):

 

Tangente (tg o tan):

 

Nota: Per calcolare uno di questi rapporti, occorre esprimere le due lunghezze nella stessa unità di misura.

 

Esempio: Applicando le tre definizioni all’angolo della figura 1, otteniamo:

 

; .

 

2. Proprietà

Applichiamo le definizioni date all’altro angolo acuto del triangolo di figura 1, chiamato .

 

Otteniamo:  ;

 

Possiamo notare che: sen = cos ; cos = sen ; .

 

In altre parole, per i due angoli acuti di un triangolo rettangolo, si può enunciare la seguente proprietà: il seno di un angolo acuto è uguale al coseno dell’altro angolo acuto e la tangente di uno è uguale all’inverso della tangente dell’altro.
 
Ancora, poiché i due angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, se due angoli (non nulli) sono complementari, il seno di uno è uguale al coseno dell’altro e la tangente di uno è uguale all’inverso della tangente dell’altro.
 
Ad esempio, sen 67° = cos 23° poiché un angolo di 67° e un angolo di 23° sono complementari (67° + 23° = 90°).

 

3. Esempi di calcolo

3.1. Primo esempio

Enunciato: Considerata come unità di lunghezza il centimetro, sia LEM un triangolo rettangolo in E, con EL = 12 e EM = 5. Vogliamo calcolare i valori esatti di , e .

 

 

Risoluzione: Per calcolare i valori esatti di e , dobbiamo calcolare la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo, ovvero ML. Poiché il triangolo è un triangolo rettangolo, applichiamo il teorema di Pitagora:

 

LM2 = EL2 + EM2, diventa LM2 = 122 + 52, da cui LM2 = 169, dunque LM =   = 13.

 

Per definizione, , dunque .

 

Allo stesso modo, , ovvero .

 

Infine, , dunque .

 

3.2. Secondo esempio
 

Enunciato: Sia PHR un triangolo rettangolo in P, tale che HP = PR = 1 cm. Il triangolo è isoscele e rettangolo, quindi . Vogliamo calcolare i valori esatti del seno, del coseno e della tangente di questi angoli di 45°.

 
Risoluzione: Per definizione, .

 
Calcoliamo il valore esatto di HR, applicando il teorema di Pitagora al triangolo HPR:

 
HR2 = HP2 + PR2, sarà HR2 = 12 + 12, dunque HR2 = 2, da cui .

 
Ne deduciamo che ovvero .
 
Dalle proprietà citate nel paragrafo 2, i due angoli e R sono complementari e misurano 45°; se ne deduce che , quindi .

 

Per definizione, , da cui . Troviamo che tg 45° = 1.

 

Riassumendo: e tg 45° = 1, risultati che valgono in generale.