Rivelatrice, secondo alcuni, di un principio di armonia universale che regge il microcosmo e il macrocosmo, o chiave d’una concezione assoluta della bellezza, essa ha trovato applicazione presso i pittori nella «costruzione» della superficie pittorica, un po’ al modo in cui gli architetti se ne sono talvolta serviti per le piante e gli alzati degli edifici.
L’espressione sa traduce la nozione euclidea di una ripartizione geometrica in rapporto medio proporzionale, mentre il «numero aureo» ne rappresenta l’aspetto speculativo. Essa si carica fin dall’antichità di significati mistici, estetici, esoterici, di cui ritroviamo eco nel vocabolario dei teorici del rinascimento.
Luca Pacioli parla di «divina proporzione», Keplero di «sezione divina», mentre il termine sezione aurea è stato verosimilmente introdotto nel sec. XIX recuperando la definizione medievale di regula aurea.
Per quanto ne sappiamo, Euclide fu il primo a definire la sa e a corredarla di un’espressione matematica. Raccogliendo un sapere di antiche origini, e di speculazioni sul modo piú logico per ripartire asimmetricamente una retta secondo principi di economia e di armonia, egli scrive nel VI libro degli Elementi: «Una retta è detta divisa in ragione media proporzionale quando l’intera retta sta al segmento maggiore come il maggiore sta al minore».
La definizione espressa attraverso una formula matematica da cui si ottiene il numero irrazionale 1,61803... rappresenta dunque l’incremento della sa, il numero aureo, e come tutti i numeri irrazionali può essere rappresentato geometricamente. Secondo il metodo descritto da Euclide, si costruisce un triangolo rettangolo con ipotenusa AC, cateto maggiore AB, cateto minore BC. Ponendo BC = 1/2 AB, esso viene prolungato fino al punto D in modo da avere la stessa lunghezza dell’ipotenusa AC. Il segmento aggiunto BD costituirà il medio proporzionale, in relazione di sa, rispetto al cateto AB. Un simile rapporto proporzionale è presente nelle figure geometriche derivate dal pentagono (in particolare il pentagramma) e dal dodecagono. Il pentagono regolare, ampliato nello spazio, fornisce il dodecaedro e l’icosaedro, due dei cinque corpi platonici.
La riflessione sulle origini della sa acquista una notevole complessità se si tiene presente che in molte forme naturali è stato possibile rintracciare rapporti proporzionali ad essa riconducibili: dal cristallo di neve, la cui rappresentazione schematica è composta da segmenti in relazione di sa, ai cristalli di pirite, la cui composizione è costituita da un dodecaedro contenente dodici pentagoni, alla conformazione di vari fiori e foglie, alla stella marina e così via.
Il fascino di tale schema interpretativo è che si è rivelato appropriato alla descrizione di determinati processi di sviluppo in natura: è stato ad esempio notato come durante la crescita di un ramo di pioppo, la distanza dei germogli si colloca in rapporti di sa.
Tutto ciò aiuta forse a comprendere il carattere misterioso, esoterico e magico che da sempre accompagna il pensiero e le speculazioni sulla sectio divina, non essendo tra l’altro possibile rintracciarne con sicurezza le origini.
Stelle in forma di pentagramma sono presenti in illustrazioni egizie, e non può non suscitare meraviglia il fatto che misurazioni sulla piramide di el Giza hanno dimostrato come il coseno dell’angolo di inclinazione coincida quasi precisamente con il numero aureo. A giudicare dai ritrovamenti, la forma del pentagramma doveva essere ricorrente anche nella pittura vascolare etrusca fin dal sec. VI a. C.
Nella stessa epoca, spetta però alla scuola pitagorica il merito di una corretta teorizzazione matematica delle relazioni proporzionali contenute nel pentagramma, che a quanto ci dice Luciano sarebbe stato il segno di riconoscimento degli iniziati. E vincolo del segreto e il carattere iniziatico, che contraddistinsero i seguaci di Pitagora, fecero sì che solo parzialmente e indirettamente ci siano pervenute notizie dei loro studi. Questi erano incentrati sulla definizione matematica delle relazioni proporzionali, alla ricerca di principi universali di armonia, validi sia per gli intervalli tonali che spaziali.
Di tale dottrina Platone, che sembra aver avuto interessanti rapporti con gli ambienti pitagorici, pare fornirci un riflesso.
Secondo il filosofo, il numero è fattore d’ordine, di misura, di bellezza, che solo la conoscenza della matematica permette di cogliere. Il Timeo ci comunica le sue concezioni circa l’armonia e la proporzione, e in particolare circa il «medio proporzionale» geometrico, il legame piú forte che possa unire tre termini: «Ma che due termini formino da soli una bella composizione, ciò non è possibile senza un terzo [...], ne viene così necessariamente che tutti i termini abbiano la medesima funzione, che tutti svolgano gli uni in rapporto agli altri il medesimo ruolo, e che in tal caso tutti costituiscano una perfetta unità» (Timeo, 31a-32c),
Piú avanti, per spiegare la sua cosmogonia, Platone riprende il dodecaedro pitagorico (12 pentagoni), impossibile da realizzare senza la sa, e di cui egli fa il simbolo dell’armonia cosmica: «Il Dio se ne servì per il Tutto, quando ne ebbe disegnato la disposizione definitiva» (Timeo, 55c).
Un secolo piú tardi, intorno al 300 a. C., Euclide tornerà quattro volte, nei suoi Elementi, sulla ripartizione media proporzionale (libro II, prop. 11; libro IV, prop. 10-14; libro VI, Prop. 30; libro XIII), mentre l’ascendente dei principî della sa sulle teorie cosmogoniche, già presente nel Timeo di Platone, torna con Tolomeo, la cui astronomia utilizza il decagono, una variante del pentagono non descritta da Euclide.
L’intero patrimonio matematico greco è assorbito dalla cultura araba, e con il tramite di autori come Nicomaco di Gerasa (sec. I d. C.) e Severino Boezio (sec. VI d. C.), la geometria esoterica pitagorica si trasmette al Medioevo. Riflessi di Euclide sono visibili in Gerardo di Cremona (1114 ca. - 1187) e si concretizzeranno in un consapevole recupero con Campano di Novara che nel 1354 traduce e commenta una versione araba degli Elementi di Euclide (il libro viene stampato oltre un secolo piú tardi a Venezia nel 1482).
Precedentemente, fin dal 1228, Leonardo da Pisa (Fibonacci), cui dobbiamo il primo trattato di algebra, aveva scoperto inoltre una serie additiva nella quale due cifre consecutive si trovano in un rapporto che tende verso il numero aureo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Sempre a Venezia, che attraverso i commerci con Bisanzio riveste un ruolo fondamentale nel recupero all’Occidente della cultura greca preservata dal mondo arabo, appare nel 1509 il trattato De divina proportione del monaco bolognese Luca Pacioli. Il trattato risente del rapporto con le teorie che Piero della Francesca aveva elaborato nel suo Trattato dei corpi regolari.
Da questo momento la trattatistica sulla sa sarà strettamente intrecciata all’opera degli artisti, recuperando quella ricerca applicativa dei suoi dettami proporzionali, cui contribuì il ricorso all’analisi dei monumenti antichi. Le misurazioni delle opere d’arte dell’antichità, intraprese con passione da studiosi e artisti rinascimentali, permise infatti di «rinnovare» la conoscenza dell’utilizzo sistematico dei rapporti proporzionali.
Opere chiave del mondo classico rivelano infatti l’applicazione delle proporzioni fissate dalla sa. È il caso del Partenone, nelle relazioni di larghezza e altezza dell’edificio, di altezza e diametro delle colonne; come anche dei Propilei, nelle proporzioni dell’architrave e dei capitelli. Anche nella scultura, la rappresentazione del corpo umano, così come è fissata dal canone policleteo, rivela i medesimi proporzionamenti. L’altezza della figura dell’Apollo del Belvedere risulta compresa in due segmenti (il maggiore in basso e il minore in alto), in relazione di sa, la cui linea orizzontale di cesura passa per il centro proporzionale dell’ombelico.
Ulteriori frazionamenti in ragione di sa sono ravvisabili nell’analisi della scultura e la teorizzazione della rappresentazione proporzionale della figura umana ha vissuto interessanti sviluppi in tempi a noi vicini con il Modulor di Le Corbusier.
Questo sapere si trasmise dagli artisti greci ai romani. A Napoli si conserva uno strumento, proveniente da Pompei, probabilmente utilizzato nel disegno architettonico. Si tratta di un compasso di riduzione, per proporzionare una grandezza maggiore a una minore: le riduzioni funzionano secondo rapporti di sa.
La presenza di questo filo che regge l’armonia delle opere dell’uomo e, come abbiamo visto, della natura fece sì che nel rinascimento la sa venisse eletta a principio universale, a divina proportio.
Luca Pacioli espone diversi motivi per spiegarcene la natura divina. Come Dio, tale proporzione non può essere definita in modo certo, in quanto irrazionale; come Dio, è sempre presente in modo invisibile; come Dio, è una, unica, invariabile. Pacioli cita il Timeo e insiste sulla necessità di questa sacra proporzione che unisce i cinque corpi platonici. Leonardo da Vinci li rappresenterà sulle tavole dell’opera.
La compresenza armonica di caratteri scientifici, esoterici e mistici nei principî della sa trova un interprete adeguato nella complessità del pensiero leonardesco. Nella sua impostazione scientifica, «Non legga i miei principî chi non è matematico», confluiva la ricerca di principî universali che ispirassero il macrocosmo come il microcosmo, condotta
attraverso un’attenta osservazione della morfologia della natura:
«Tutte le parti di qualunque animale sieno corrispondenti al suo tutto... e il medesimo intendo aver detto delle piante» (Trattato della pittura, prop. 268: Della proporzionalità
delle membra).
Parallelamente Luca Pacioli credeva che l’uomo, sia nell’insieme che nelle singole parti, rispondesse alla proporzionalità della sa.
Albrecht Dürer, nel corso di uno dei suoi viaggi a Venezia all’inizio del sec. XVI, si recò a Bologna, dove Pacioli risiedeva, per apprendere «gli arcani di una prospettiva segreta».
Autore di un trattato di proporzioni (Proportionslehre) e di un trattato sulla misurazione (Unterweisung der Messung), Dürer si occupò tra l’altro delle figure-chiave del triangolo e del pentagramma, nonché dei fondamenti matematici della composizione pittorica. Il proporzionamento e la disposizione dei tratti fisionomici del suo Autoritratto (Monaco, np) sono un manifesto dei suoi studi sulla sa. Ma nella pittura rinascimentale l’applicazione alle composizioni di questi principi di proporzionamento acquista il carattere di consuetudine, dall’Assunta dei Frari di Tiziano alla Madonna Sistina di Raffaello.
L’impiego della matematica nobilita la pittura conferendole un aspetto piú speculativo, soprattutto nella misura in cui l’organizzazione di un «disegno» d’insieme è comune a tutte le arti, tecnicamente e teoricamente.
Euclide è d’altronde oggetto di numerose edizioni francesi, di cui forse beneficia precisamente Poussin. La trasmissione «sotterranea» di questo sapere, la scarsità di testimonianze scritte esplicitamente collegate alla sa rendono però difficile seguirne lo sviluppo.
I teorici del sec. XIX riscoprono l’interesse extramatematico della sa. La considerano la legge fondamentale che impregna la natura e le arti, e la rielaborano in funzione delle correnti scientifica, mistica e teosofica del simbolismo della seconda metà del secolo, che spesso influenzeranno gli artisti.
Così Seurat, che si formerà in un clima scientista, sviluppa un’opera in cui l’origine di ogni sensazione armonica è dovuta ai numeri. «L’arte è armonia. L’armonia è l’analogia dei contrari, l’analogia dei simili» (lettera a Maurice Baubourg, 1890). Nelle tele di Seurat, in generale, i personaggi saranno disposti in base alla sa, ed è in tali termini che A. Lhote analizzerà la Parade.
A partire dal 1885, prenderà piede il simbolismo; l’influsso di Moreau s’estende non soltanto ai nabis, ma anche al gruppo esoterico dei Rosa-Croce, il cui capo sâr Péladan traduce il Trattato della Pittura di Leonardo, libro che influenzerà Jacques Villon. Nel 1890 l’opera I grandi iniziati, di Schurè, ha notevole successo. La dottrina di Pitagora e particolarmente la scienza dei numeri sacri vi sono esposte in un centinaio di pagine.
Nella stessa epoca, un’estetica religiosa a tendenza pitagorica, fondata sulla matematica, il numero, la geometria, vede la luce nell’abbazia benedettina di Beuron. Padre Didier Lenz rivela al novizio Jan Verkade, amico di Gaugin e Sérusier, il progetto del numero, dell’equilibrio e dell’ordine. Sérusier si entusiasma di questa estetica, che gli consente di raggiungere «un’arte piú grande, piú severa e sacra». Produce composizioni, figure nude, con il regolo, le squadre e il compasso proporzionali, impostati sul numero aureo. Il suo insegnamento alla Académie Ranson contribuisce a diffondere l’uso delle «misure sacre». Inoltre, Sérusier aprì in questo senso la strada al cubismo, la cui prima esposizione fu posta sotto il segno della sa (ottobre 1912). Tale esposizione era la conseguenza logica del gruppo di Puteaux, che riuniva presso i fratelli Duchamp, appassionati di matematica, artisti come Gleizes, Metzinger, Léger, Picabia, La Fresnaye, Apollinaire.
L’organizzazione della tela era il principale argomento di discussione: «Si è radicata in noi l’idea che una tela debba essere ragionata prima di essere dipinta» confessa Villon, che rappresenta l’esempio migliore dell’impiego della sa, trasfigurata da un cromatismo sottile. André Lhote, col suo insegnamento e i suoi scritti contribuisce a far conoscere le leggi cui deve «obbedire l’opera d’arte per sfuggire alla sciatteria sentimentale». Il Trattato del paesaggio insiste sulla composizione del quadro «per sollecitare o trattenere lo sguardo». La suddivisione della superficie secondo il numero aureo possiede le maggiori virtú. Egli cerca di raggiungere il Bello ideale platonico, con l’ausilio delle regole.
L’opera di Severini Dal Cubismo al Classicismo, comparsa nel 1921, reca un sottotitolo rivelatore dell’atteggiamento dell’artista: Estetica del compasso e del numero. Severini ritiene indispensabile la conoscenza della geometria per costruire una tela e torna alle idee del rinascimento: scopo supremo dell’arte è ricostruire l’Universo secondo le leggi stesse che lo reggono.
In piena sintonia con le teorie rinascimentali, Le Corbusier opera la «ricostruzione dell’Universo», ponendo la figura umana a misura del tutto: «Il Modulor è uno strumento di misura, che emana dalla figura umana e dalla matematica. Un uomo con un braccio alzato fornisce nei punti cardine dello spostamento nello spazio – piede, plesso solare, testa, punta delle dita del braccio alzato – tre intervalli, che producono una serie di sa, che prende il nome da Fibonacci». Nel suo libro Il Modulor, Le Corbusier sviluppa dei modelli applicativi della sa adattabili a qualsiasi sfera progettuale o livello di rappresentazione. Dal «gioco» infinito delle combinazioni di ripartizione di un quadrato in proporzione aurea discendono applicazioni che vanno dal disegno architettonico (le «Unité d’habitation» di Marsiglia), al disegno di mobili e standard tipografici.
Oggi un pittore come Agam impiega il numero aureo, servendosi di un calcolatore, per definire i rapporti tra le forme. Ottiene così diverse combinazioni che incorporano il tempo (quarta dimensione) nell’opera.
Va però detto che questi artisti, che fanno riferimento sempre, piú o meno, a Leonardo (il quale comunque non menziona mai direttamente la sa), sono forse piú legati a un mito creativo, vero garante della composizione, che ai problemi matematici sottostanti alla sa. L’impiego del numero aureo compare d’altronde presso alcuni pittori nel momento in cui sono attirati da personalità del Quattrocento, quali Paolo Uccello e Piero della Francesca. Ed è vero che molti artisti hanno sovrapposto il proprio punto di vista ad esempi antichi, col pretesto di riallacciarsi a una famiglia spirituale la cui definizione storica non è sempre ben formulata.
Taluni teorici, troppo spesso applicando schemi mentali senza partire dall’osservazione diretta del documento del passato, hanno spinto assai lontano la loro analisi, e propongono strutture cui gli artisti possono non aver mai pensato; in realtà non si può essere sicuri che si tratti dell’impiego autentico della sa in una certa composizione di Raffaello, di Tiziano o del Veronese. Senza dubbio molti schemi proposti ci offrono alcune coincidenze, ma non sempre sufficienti. Per converso molti pittori attuali si sono immediatamente impadroniti di questi studi per la loro creazione.
Fase di una cultura, l’impiego del numero aureo sembra aver frequentemente proposto un mito creativo a coloro che avessero bisogno di tradurre una particolare concezione dell’armonia. In molti casi, inoltre, ha potuto diventare un metodo scolastico, una deformazione pedagogica.
Oggi speculazioni matematiche come quelle di Xénakis sembrano aver aperto, in rapporto a forme artistiche nuove, una ricerca diversa, benché sempre associata all’idea di una struttura superiore.