L'EVOLUZIONE
DELLA SCRITTURA
Questo esercizio relativo a grandi quantità di pane e birra usa un sistema ubi-sessagesimale». Il numero più grande è 20 x 60; il più piccolo 1. Le caselle alla sinistra della riga in alto (a) stabiliscono che 6000 pezzi di pane dovrebbero avere costo totale 1M+3x 6C+2 C (pari a 200 C).
I simboli alla sinistra della seconda riga (b) stabiliscono che 5 (sottinteso x 60) giare di birra dovrebbero costare 3 x 6 C + 2 C, cioè 20 C. Perciò, i C di orzo era il costo di 30 pezzi di pane di tipo (a) o di 15 giare di birra di tipo (b).
Dal segno alla scrittura
Dai cacciatori preistorici ai primi contabili
Come nacquero i primi alfabeti.Tutte le scritture del mondo.
Numeri e misure nei primi documenti scritti
Già alla fine del IV millennio a.C. gli scribi sumerici e protoelamiti utilizzavano un precursore del nostro sistema decimale
Joran Friberg
Tra i primi documenti scritti di cui si ha notizia vi sono le iscrizioni su tavolette d'argilla venute alla luce in Iraq e in Iran, in particolare nei siti di due grandi città antiche: la città sumerica di Uruk e quella elamita di Susa. Le iscrizioni, per lo più conti e ricevute di vario genere, furono stilate verso la fine del IV millennio a.C. e poco dopo. Dopo vari decenni di studi, sono stati identificati tutti i sistemi di numerazione e di misura esistenti in questi testi «protoletterari». Fra di essi si trovano i precursori del più recente sistema numerico sessagesimale sumero-accadico (che usava la base 10 e la base 60) e del nostro sistema decimale (che usa soltanto la base 10).
Inoltre essi includono un sistema di misure di capacità, precedentemente non identificato, usato in tutti i rendiconti che trattano dell'orzo che, in quel periodo, fungeva sia da base dell'alimentazione sia da merce di scambio.
Il lettore che volesse fare la conoscenza dei sistemi numerici e di misura usati in epoca protoletterada dovrà accompagnarmi in un viaggio in cui andremo a ritroso nel tempo per quanto riguarda i documenti storici e avanti nel tempo per quanto riguarda gli studi filologici. E questo perché le tavolette più antiche, sepolte a maggiore profondità, sono state le ultime a essere scavate e, di conseguenza, le ultime a poter essere studiate. Le tavolette più antiche sono state anche le più difficili da interpretare.
Prendiamo come punto di partenza l'isola greca di Coo, circa 30 chilometri a nord-ovest di Rodi, in prossimità della costa turca. Qui, verso il :340 a.C., il fondatore di una scuola di astrologia, il babilonese Beroso, scrisse una storia della sua terra dl'origine. In essa riferì che i numeri sossos (60), neros (600) e saros (3600) occupavano un posto particolare nell'astronomia e nell'aritmetica babilonesi. Da questo momento, per i successivi 2200 anni, niente altro si seppe dei numeri e delle misure babilonesi. Poi nel 1855 Sir Henry Rawlinson, uno dei pionieri della decifrazione della scrittura cuneiforme, pubblicò una sintesi dei numeri cuneiformi presenti su una piccola tavoletta di argilla trovata nell'antica città mesopotamica di Larsa. Rawlinson si rese conto che le ultime due righe della tavoletta stabilivano in realtà che «3481 è il quadrato di 59» e «1 è il quadrato di 1». Egli dedusse che la tavoletta era la parte finale di una tabella di radici quadrate che iniziava con il quadrato di 49 (uguale a 2401 o 40 x 60 + 1) e terminava con il quadrato di 60 (uguale a 3600). La sua interpretazione, naturalmente, era possibile solo partendo dal presupposto che i numeri 60 e 60 x 60 fossero entrambi rappresentati con lo stesso simbolo, vale a dire il simbolo per il numero 1.
Rawlinson trasse la conclusione che i Babilonesi operavano con una numerazione sessagesimale di natura quasi-posizionale, ossia una numerazione in cui il simbolo per 1 indicava anche le potenze di 60 e quello per 10 indicava anche 10 volte le potenze di 60. Inoltre concluse che i Babilonesi non avevano simboli particolari per rappresentare lo zero.
A questo punto è necessario considerare i pregi relativi dei vari sistemi di numerazione. Cominciamo dal cosiddetto sistema metrico, in realtà un gruppo di sistemi di unità per diversi tipi di misure in relazione tra loro. Il sistema metrico è stato universalmente adottato grazie alla sua semplicità strutturale e al fatto che è costruito per combinarsi al sistema a base 10, o decimale, usato oggi per tutti i tipi di calcolo normale. Anche il sistema metrico, peraltro, nella sua forma non scientifica, ha incorporato sistemi non decimali: l'anno di 12 mesi, il giorno di 24 ore, le ore di 60 minuti, i minuti di 60 secondi come unità di tempo; il cerchio di 360 gradi e le ulteriori suddivisioni in 60 primi e 60 secondi, come unità angolari. Queste misure possono essere fatte risalire all'astronomia classica greca e, più in là ancora, all'uso comune della numerazione sessagesimale nel calcolo adottato a Babilonia e a Sumer. Molti altri sistemi tradizionali di pesi e di misure, comunque, erano fatalmente destinati a essere sostituiti dal sistema metrico perché non si adattavano al sistema decimale.
Tuttavia la sopravvivenza di alcuni sistemi tradizionali è stata causata in parte dal sistema decimale stesso. Questo sistema metrico ha il suo punto debole nella base 10, che è realmente troppo piccola. Ciò sarà più evidente quando porterò ulteriori esempi di calcoli eseguiti nel contesto del sistema sessagesimale con la sua base più ampia: 60 = 3 x 4 x 5 (anziché 10 = 2 x 5). Come si vedrà, il sistema a base 60 rese possibile ai Sumeri la costruzione di una famiglia di sistemi di misure molto ben collegati, con sequenze di unità tipo formatesi naturalmente e facili da utilizzare nei calcoli.
Trovare l'esatta interpretazione del sistema di notazioni cuneiformi che serve a rappresentare numeri sessagesimali (cioè a base 60) è stato relativamente semplice. Molto più difficile è stato capire come erano costruiti i vari sistemi di misure che appaiono in molte iscrizioni cuneiformi. Indicazioni decisive sono state offerte da tavolette che gli studiosi interpretano come testi scolastici.
Eserciziari babilonesi
Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi nelle scuole paleo-babilonesi (1900-1500 a.C.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle: elenchi di nomi geografici, di nomi di uccelli e pesci, di parole in due lingue e tabelle grammaticali per lo studio della difficile lingua sumerica e così via. Inoltre si copiavano testi matematici ed elenchi o tabelle di misure.
Il primo esempio di una tabella di misure descritta in un lavoro filologico è una tavoletta frammentaria anch'essa scoperta a Larsa. La tabella venne studiata e descritta da George Smith, un eminente studioso di cuneiforme, nel 1872, ma il suo significato fu compreso a pieno solo molto più tardi. Sul lato sinistro di ciascuna colonna della tavoletta si trova una serie sistematicamente combinata di misure lineari, espresse in unità tipo. Le unità sono, dalla più piccola alla più grande, lo she («grano»), lo shusi (»dito»), il kush («cubito») e così via fino al beru, pari a 30 x 60 x 12 (6 x 602), cioè 21.600 cubiti. Sul lato destro di ciascuna colonna si trovano le stesse misure lineari espresse come multipli di cubiti in notazione sessagesimale. Per esempio, la linea inferiore destra della tavoletta si legge: «Due beru [pari a] 12». Si deve notare che beru è la pronuncia babilonese del simbolo che indicava la parola sumerica danna (normalmente scritta KAS.GID, alla lettera «lunga via»). Il 12, comunque, rappresenta non 12 cubiti, ma il numero assai più grande di 12 x 602 cubiti. Essendo il cubito uguale a circa la metà di un metro, la lunghezza del beru era più di 10 chilometri.
Quando fu identificato un altro frammento della stessa tavoletta, subito dopo il ritrovamento del primo, si vide che conteneva una ulteriore tabella metrologica dello stesso tipo della prima, eccetto che il lato destro di ciascuna colonna riguardava multipli di un nindan (uguale a 12 cubiti) in numerazione sessagesimale. Solo molto più tardi lo studio dei testi matematici babilonesi che trattavano calcoli di volumi dimostrò che, mentre il cubito era l'unità base per misure verticali, il nindan era l'unità per misure orizzontali. Perciò la più piccola unità di superficie, chiamata shar, valeva un nindan quadrato; la più piccola unità di volume, anch'essa detta shar, era data dallo spazio racchiuso in un nindan quadrato di base per un cubito di altezza. Questa scelta apparentemente insolita di unità era invece abbastanza pratica perché escludeva la necessità di contare con piccole frazioni dell'unità di volume.
Queste due tavolette metrologiche sono la prova eloquente di come il sistema sumero-accadico di misure lineari fosse ben adattato al sistema di numerazione sessagesimale. Esaminiamo ora le regole di conversione per unità del sistema di misure lineari. Sei she sono uguali a un shusi, 30 shusi sono uguali a un kush, 12 kush sono uguali a un nindan, 60 nindan sono uguali a un USH e 30 USH sono uguali a un danna (o beru). L'informazione contenuta in questa sequenza di regole di conversione può essere così riassunta: i «fattori di conversione» per il sistema lineare babilonese sono 6, 30, 12, 60 e 30. Si noti che ciascuno di questi fattori è anche un fattore della base 60. Scavi in Mesopotamia hanno restituito non soltanto interessanti testi matematici pari a quelli di Larsa, ma anche «testi di problemi» ancor più significativi. Già nel 1900 il British Museum riprodusse due grandi tavolette paleobabilonesi che contenevano problemi matematici di vario genere.
Tra il 1889 e il 1900 una spedizione americana condusse uno scavo di rilievo a Nippur, uno dei siti più vasti e importanti della Mesopotamia. Nel 1906 Herman V. Hilprecht dell'Università della Pennsylvania diede notizia di alcuni risultati della spedizione in un volume che includeva riproduzioni di diversi importanti testi matematici e metrologici paleobabilonesi e di un testo di problemi scritto in sumerico. Fra i testi metrologici pubblicati da Hilprecht vi erano tabelle di conversione sessagesimale per diversi tipi di misure ed elenchi di misure dalle più piccole alle più grandi. Si può supporre che tali elenchi servissero a insegnare sia la struttura dei sistemi di misura sumero-accadici sia la forma delle cifre e di altri segni relativi a ciascun sistema.
La pubblicazione di Hilprecht dimostrò evidenti analogie tra le tabelle e gli elenchi paleobabilonesi da un lato e vocabolari ed elenchi lessicali o grammaticali sumero-accadici dall'altro. Da allora sono stati portati alla luce numerosi altri testi appartenenti a queste categorie. I più antichi sono alcuni elenchi lessicali protoletterari che risalgono alla fine del IV millennio a.C. I testi matematici più antichi sono più recenti di mezzo millennio.
Un manuale per gli agricoltori e uno per i geometri
Se continuiamo il nostro viaggio a ritroso nel tempo fino agli inizi del III millennio a.C., giungiamo al periodo sumerico conosciuto come Ur (2050-1950 a.C.), che precedette immediatamente il periodo paleobabilonese. Si conoscono numerosi testi del periodo Ur III, in prevalenza di carattere economico o amministrativo. In questi testi di regola veniva utilizzata una notazione non posizionale per i numeri sessagesimali, con segni distinti per 1, 60 e 602, nonché per 10, 10 x 60 e 10 x 602, e così via. Chiaramente con questo sistema di numerazione non posizionale non era necessario un segno speciale per indicare lo zero.
Soltanto alcuni dei numerosi testi di Ur III sono di qualche interesse per il loro contenuto matematico o metrologico. Accennerò qui solo a un piccolo gruppo riguardante calcoli sulla quantità di semente necessaria a seminare campi di una data misura, quando la spaziatura tra i solchi era data come N solchi per nindan. Copie di questa specie di «almanacco degli agricoltori» sumerico indicano che i granelli di segale erano seminati in un solco a intervalli di due dita (shusi), cioè con un rapporto di 180 granelli (pari a una unità di capacità conosciuta come shekel: «ciclo») per nindan. Quando, come di solito accadeva, N era uguale a 10, quella proporzione poteva essere espressa più esattamente come un gur (la più grande unità di capacità) per bur (la più grande unità di superficie). Questo esempio, in cui un granello ogni due dita equivale a uno shekel per nindan o a un gur per bur, mostra con quale eleganza le varie unità di misura sumero-accadiche fossero correlate.
La supremazia sumerica in Mesopotamia durante il III millennio fu interrotta da un breve intervallo semitico che ebbe inizio con il regno di Sargon di Akkad (2350-2300 a.C.). L'esistenza di attività matematiche nel periodo di Sargon e dei suoi successori, di cui è difficile dubitare, è confermata da un gruppetto di piccole tavolette con annotazioni di semplici, ma tutt'altro che banali, esercizi di geometria. Il periodo sargonico è esemplificato qui da una tavoletta proveniente dalla città di Umma, su cui è riportata la contabilità di offerte sacre giornaliere e mensili di birra. Il suo testo contiene interessanti calcoli metrologici. Mostra anche chiaramente che nel periodo sargonico i simboli numerici potevano essere scritti in due modi: o con segni cuneiformi incisi con la parte appuntita dello stilo o con segni circolari impressi con la parte arrotondata.
Si conoscono altri testi matematici del periodo presargonico sumerico e del precedente periodo antico-sumerico di Fara, intorno alla metà del III millennio a.C. Il più antico testo metrologico noto risale al periodo di Fara ed elenca le aree di grandi campi quadrati. Sono ben noti due altri testi matematici del periodo di Fara. Entrambi trattano di uno stesso problema di divisione che coinvolge grandi numeri sessagesimali. Questo piccolo campionario dimostra che i primi insegnanti sumerici non eccellevano solo nei problemi matematici pratici ma anche nella trattazione di problemi abbastanza astratti, che comprendevano misure o numeri molto grandi o molto piccoli, e algoritmi per moltiplicazione o divisione.
La nascita dei simboli numerici
Come si sono sviluppati i sistemi matematici e metrologici dei Sumeri? La principale testimonianza che abbiamo da presentare richiede un altro passo all'indietro verso gli inizi del III millennio a.C. Nel 1928 Stephen H. Langdon dell'Università di Oxford pubblicò una raccolta di circa 200 testi tra le tavolette e frammenti scavati alcuni anni prima nel piccolo sito di Gemdet Nasr in Iraq. Le nuove iscrizioni erano stilate in una scrittura arcaica pittografica, chiaramente precorritrice del cuneiforme sumerico. Molti dei segni presenti nei testi arcaici, tuttavia, non erano più in uso all'epoca dei testi antico-sumerici di Fara. Per tale ragione la corretta lettura di molti segni che compaiono nelle iscrizioni «protosumeriche» provenienti da Gemdet Nasr non è ancora conosciuta e i testi rimangono più o meno incomprensibili.
Non è neanche completamente chiaro se la lingua delle tavolette di Gemdet Nasr sia sumerica; per questo chiamo quelle iscrizioni «protosumeriche». Comunque, i numeri presenti in questi testi, a forma di cerchio impresso con la parte terminale arrotondata dello stilo, sono sempre facili da identificare. Si constatò, inoltre, immediatamente, che le notazioni numeriche sulle tavolette di Gemdet Nasr erano strettamente imparentate con quelle presenti su tavolette ancor più enigmatiche provenienti dall'Iran. Queste tavolette, per un motivo analogo, sono chiamate «protoelamite» e sono all'incirca della stessa epoca.
Nel 1936, poco meno di un decennio dopo la pubblicazione delle tavolette di Gemdet Nasr da parte di Langdon, lo studioso tedesco Adam Falkenstein pubblicò un altro gruppo di tavolette protosumeriche chiaramente più antiche e un po' più primitive di quelle di Gemdet Nasr. La raccolta di Falkenstein comprendeva 600 iscrizioni, ma questa era soltanto una piccola parte del totale scavato da una spedizione tedesca che aveva lavorato nel sito dell'importante città mesopotamica di Uruk all'inizio degli anni trenta.
Tre testi provenienti da Gemdet Nasr e che riguardano calcoli di aree furono interpretati nel 1930 dallo studioso francese Francois-Maurice Allotte de la Fute, il quale fu in grado di provare che il sistema sessagesimale e il sistema sumerico delle misure di superficie erano usati anche in queste iscrizioni protosumeriche. Con questa eccezione, tuttavia, le notazioni protosumeriche riguardanti numeri e misure continuavano a essere poco comprese. Pertanto, si credeva che insieme con il sistema sessagesimale sumerico i primi scribi ricorressero a un sistema di numerazione decimale (o «centesimale») probabilmente mutuato dal protoelamita. Si credeva anche, per vari motivi, che nei testi protosumerici riguardanti cereali (caratterizzati dal segno she che significa appunto cereale) la principale unità di capacità fosse un gur formato da 300 silo (o 30 bon), esattamente come nei testi del periodo più tardo di Ur III.
Nel 1978 fui in grado di dimostrare l'inesattezza di queste supposizioni, provando che in entrambi i tipi di testi protoletterari, sia protosumerici sia protoelamiti, riguardanti cereali, è molto probabile che il segno numerale letto dagli studiosi come 10 avesse anche il valore di 6. Infatti, lo stesso segno numerale può essere letto sia come 10 sia come 6, a seconda del contesto, persino nella stessa tavoletta. Questa intuizione ci consentì di comprendere i calcoli nelle centinaia di testi protosumerici e protoelamiti relativi a misure di capacità che prima era stato impossibile studiare. In seguito, facendo confronti tra certi testi protoletterari e i loro corrispondenti sumerici fui in grado di determinare almeno approssimativamente la misura assoluta della principale unità protoletteraria di capacità, che risultava essere circa un ban sumerico (all'incirca 10 litri) piuttosto che i presunti 30 ban.
Grazie a questi progressi è ora possibile iniziare a fissare correttamente la scala e il carattere delle organizzazioni economiche protosumeriche a Gemdet Nasr e a Uruk e di quella protoelamita nell'importante e antica città iranica di Susa. Si è dimostrato di particolare interesse un testo relativo a «pane e birra» risalente al periodo Gemdet Nasr, ma trovato a Uruk, che contiene calcoli con grandi numeri e piccole frazioni. Il testo manca di qualsiasi tipo di data o firma. Questo fatto da solo suggerisce che non si tratta di una comune registrazione amministrativa, ma di un testo scolastico: un esercizio di matematica e di metrologia. La parte superiore della tavoletta è dedicata al calcolo della quantità di cereale usata in un dato numero di infornate di pani di varia grandezza. La parte inferiore della tavoletta riporta un calcolo analogo relativo alla quantità di cereale usata nel produrre due giare di birra forte, tre di birra media e cinque di birra leggera. Questo particolare esempio di testo protosumerico del tipo Gemdet Nasr è importante per varie ragioni. In primo luogo, stabilisce senza dubbio il valore relativo di parecchie unità del sistema protosumerico che servivano per le misure di capacità, ivi comprese varie unità frazionarie. In secondo luogo, dimostra l'uso sia del sistema sessagesimale sia di uno speciale sistema «bi-sessagesimale». Cosa altrettanto importante, il testo può essere usato per trovare i valori assoluti delle unità di misura di capacità in questo sistema arcaico.
Sistemi numerici diversi per persone, animali e oggetti
Torniamo ora al secondo tipo di iscrizione proto-letteraria, i testi protoelamiti provenienti da vari siti dell'Iran. Elam è il nome dato dai Babilonesi e dagli Assiri alla regione occidentale dell'Iran che si estende fino ai confini della Mesopotamia. Missioni archeologiche francesi scavano nel sito dell'antica Susa, città capitale dell'Elam, fin dalla fine del XIX secolo. Nel periodo paleobabilonese, quasi 4000 anni fa, gli elamiti usavano il sistema di scrittura cuneiforme sumero-accadico. Gli scavi a Susa e in altre parti dell'Iran hanno rivelato, tuttavia, l'esistenza di una civiltà iranica più antica che usava una scrittura non cuneiforme e che fiori brevemente un millennio prima dei paleobabilonesi e degli elamiti. Questa civiltà protoelamita fu tanto vigorosa da estendere la sua influenza al di là dell'Elam stesso verso nord ed est, agli angoli più lontani dell'altipiano iranico.
Centinaia di tavolette arcaiche di argilla provenienti da Susa furono pubblicate dallo studioso francese Vincent Scheil tra il 1900 e il 1935. Scheil fu anche il primo a notare un'analogia tra la scrittura sumerica e quella protoelamita riguardante le notazioni numeriche. Per contro, tuttavia, la scrittura protoelamita non mostra alcuna relazione con altre scritture conosciute. Il suo repertorio di segni, che rappresentano parole o sillabe di una lingua sconosciuta, è anche di poco aiuto per la sua natura astratta e non pittografica, una circostanza che sembrerebbe rendere impossibile l'interpretazione delle parti non numeriche dei testi protoelamiti.
Sfortunatamente i primi tentativi di Scheil per capire la natura dei sistemi numerici nei suoi testi protoelamiti non ebbero molto successo. Egli non si rese conto che un certo segno (una piccola impressione circolare) non aveva necessariamente sempre il valore numerico 10. Per un certo tempo fu così indotto a credere che i Protoelamiti, come gli antichi Egiziani, usassero un sistema numerico decimale nei loro conti e calcoli. Più tardi trovò che taluni testi protoelamiti presentano in realtà un segno speciale per indicare 60. Scheil identificò anche una serie di notazioni frazionarie e passò a identificare correttamente l'ideogramma protoelamita che indicava «cereale» o forse «misura di cereale».
Un testo protoelamita di esercizi matematico-metrologici, pubblicato dallo Scheil nel 1935, tratta della somma di una lunga serie di numeri, composti da molte cifre, che rappresentano misure di capacità. Il sistema era indubbiamente costruito per abbinarsi al sistema numerico sessagesimale (o bi-sessagesimale); esso aveva la seguente sequenza di fattori di conversione da una unità alla successiva: 6, 10, 3, 10, 6, 5, 2, 3, 2, 2. La serie corrispondente dei fattori di conversione per le unità del sistema protosumerico, omettendo il primo fattore e gli ultimi quattro, è 10, 3, 10, 6, 5. Pertanto i due sistemi differiscono l'uno dall'altro soltanto nei rispettivi modi di rappresentare le frazioni dell'unità di capacità piccola (una misura che corrisponde al litro nel sistema metrico).
Da parte mia notai che i Protoelamiti (ma non i Protosumeri) usavano il sistema numerico sessagesimale soltanto quando contavano persone od oggetti inanimati come pani, o vasi di terracotta. Quando contavano animali, usavano un sistema decimale, con le sue specifiche notazioni! L'uso del sistema decimale per contare animali è confermato da un famoso testo protoelamita pubblicato dal padre Scheil nel 1923. Il testo è atipico: al posto dei soliti, oscuri ideogrammi contiene pittogrammi inequivocabili. Teste di animali simili a cavalli vengono presentate in quattro diverse categorie, probabilmente divise per sesso ed età. Per aumentare la confusione generale derivante dall'uso protoelamita di due diversi sistemi numerici per contare, parecchi segni numerici protoelamiti (e non soltanto la famigerata piccola impressione circolare) hanno valori differenti a seconda del contesto. Per esempio, il segno per 1000 è lo stesso di quello che indica 2 x 60. Il motivo di questa ambiguità è ovvio: esiste solo un numero limitato di segni che possono essere scritti comodamente utilizzando le estremità arrotondate di uno o due stili.
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