Frattale



I f. sono importanti nella descrizione di forme naturali (linee costiere, forma delle nuvole, fiocchi di neve, aggregati di particelle in sospensione nei liquidi, polimeri ecc.) e di fenomeni fisici come, per es., la turbolenza, che genera comportamenti irregolari sia nel tempo sia nello spazio, e il caos deterministico.

Frattale  agg. (dal lat. fractus, part. pass. di frangere, spezzare). Mat. Oggetto frattale (o frattale s.m.), in geometria, oggetto o fenomeno che ha una struttura "frastagliata, spigolosa" e che non può essere trattato con i mezzi dell'analisi matematica ordinaria in quanto i suoi modelli matematici mancano del requisito fondamentale della derivabilità in ogni punto: oggetti frattali sono, per es., il contorno di un fiocco di neve, la struttura frastagliata di una costa o di una catena di montagne. (Curve del genere sono state inventate e discusse già nel passato [per es. le curve di Peano, le curve di Koch]. Il termine è stato coniato dal matematico, di origine francese ma naturalizzato americano, Benoit B. Mandelbrot quando nel 1975 pubblicò il volume Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione. Gli studi relativi a questo argomento trovano numerose applicazioni in vari campi della ricerca scientifica ) .

Approfondimento

La geometria frattale permette di caratterizzare le strutture che godono della proprietà di invarianza di scala. Il termine frattale (dal latino fractus, rotto o frammentato) è stato introdotto nel 1975 da Benoît Mandelbrot. In pochi anni questo concetto è divenuto molto popolare in diverse discipline come matematica, fisica, biologia ed economia. «La geometria frattale è uno di quei concetti che a prima vista ispira scetticismo, ma in un secondo momento diventa così naturale da domandarsi perché sia stato sviluppato solo recentemente». Queste parole di Michael V. Berry descrivono appropriatamente l’impressione che questa nuova geometria, pur non usuale rispetto ai canoni matematici, rappresenti invece un concetto naturale e inevitabile per la descrizione di un gran numero di fenomeni, sia naturali sia sociali.
Da un punto di vista strettamente matematico i concetti di dimensione non intera e di autosomiglianza sono noti da molto tempo. Fin dal 1919 essi furono discussi da Felix Hausdorff in una forma simile a quella attuale e si possono incontrare anche nei lavori di Henri Poincaré del 1885. Anche Karl Weierstrass, Niels F.H. von Koch, Pierre J.L. Fatou, Gaston M. Julia e altri autori hanno studiato oggetti matematici con queste proprietà.
Per lungo tempo però questi concetti, che descrivono strutture fortemente irregolari, sono stati relegati ai margini della matematica e quasi completamente ignorati nelle altre discipline, poiché la maggior parte dei metodi matematici e geometrici usuali sono basati sul concetto di regolarità o analiticità. Ciò significa per esempio che data una curva è possibile definire la sua tangente in modo univoco per ogni suo punto e quindi, per scale sufficientemente piccole, tale curva può essere approssimata dalla sua tangente e perde ogni altra struttura. Nelle strutture frattali o autosimili invece si ha la ripetizione della stessa struttura a tutte le scale e quindi una qualunque sottostruttura possiede ancora tutta la complessità della struttura originale.
L’autosomiglianza, o invarianza di scala, implica pertanto una grande irregolarità che non è possibile descrivere con i metodi matematici tradizionali. È facile constatare, comunque, che in natura l’irregolarità è molto comune, come dimostrano chiaramente le strutture di piante, montagne, nuvole, fulmini e così via.
Anche l’anatomia offre meravigliosi esempi di strutture frattali, come le arterie e i bronchi nei polmoni. Basti pensare che la superficie effettiva attraverso cui l’ossigeno viene assorbito nei polmoni ha un’area di circa due campi da tennis, il tutto racchiuso in un volume di estensione estremamente minore. Questa caratteristica è resa possibile dalla presenza di strutture frattali, che sono state ampiamente utilizzate attraverso la selezione evolutiva per l’ottimizzazione della fisiologia delle strutture biologiche.