Funzione

Funzione In matematica e nelle sue applicazioni, stretta dipendenza tra grandezze che variano in relazione l'una all'altra (per es. la circonferenza che varia con il variare del raggio).



La definizione di funzione

Una quantità y è f. di un'altra quantità x (o di più quantità x1, x2, ...), variabile in un certo insieme, se esiste una legge che a ogni valore dell'insieme (o sistema di valori) assegnato a x (o x1, x2, ...) fa corrispondere uno o più valori di y. Questa corrispondenza si indica in genere con la formula y =f (x) o con y =f (x1, x2, ...). La x, variabile indipendente, è detta argomento, e la y, variabile dipendente, valore della f. f. Il concetto più generale di f. coincide con quello di applicazione (o di corrispondenza) di un insieme in un altro: precisamente, dati due insiemi qualsiasi X, Y, si dice f. una legge che a ogni elemento x di X associa un elemento y di Y. X è l'insieme di definizione, o dominio, della f.; l'insieme Y*, contenuto in Y, descritto da y al variare di x in X si dice insieme di variabilità o codominio. La f. è così rappresentata dal simbolo f : X'→Y.

Funzioni monodrome, polidrome, a infiniti valori

Si chiama f. a un valore o monodroma una f. tale che, per ogni scelta della o delle variabili indipendenti, dia un solo valore per la variabile dipendente; per es., y =x2 + 5 x + 2. Si chiama f. a più valori o polidroma una f. tale che, invece, dia due o più valori (in numero però finito) per la variabile dipendente; per es., y = √x. Si chiama f. a infiniti valori una f. che, per ogni scelta della o delle variabili indipendenti, dia luogo a infiniti valori della variabile dipendente; per es. y = arcsenx (quando non si pongano limitazioni per il valore di y). Data una f. univoca (a un valore) y =f (x), può accadere che ciascuno dei valori di y provenga da un unico valore di x; questa legge, che a ogni y associa in questo modo una x, è perciò una f. x =ϕ (y), è rappresentata dalla f. inversa della f. data e si indica usualmente con x = f −1(y). Una f. ammette la f. inversa in un intervallo in cui sia sempre crescente o sempre decrescente (al crescere della variabile indipendente il valore della f. cresce sempre o, rispettivamente, decresce sempre, cioè la f. è monotona): per es., l'inversa di y =x2 è x = + √‾y (per x > 0, y > 0), l'inversa di y = ex è x = lny (per y > 0).

Funzioni comuni nell'analisi matematica

Le f. più diffuse sono le f. numeriche di variabili numeriche, cioè le f. nelle quali i valori assunti tanto dalla variabile indipendente x quanto dalla variabile dipendente y sono numeri, reali o complessi. Una f. numerica di variabile reale può essere rappresentata su un piano cartesiano. L'insieme di punti del piano cartesiano le cui coppie coordinate sono date dai valori xi e yi=f (xi) costituisce il grafico, o diagramma, della funzione. Una f. può essere definita esplicitamente mediante un'espressione analitica, vale a dire come il risultato di un insieme di operazioni da eseguire su numeri (costanti) e sulle variabili indipendenti, oppure implicitamente da una relazione analitica tra la y e le variabili indipendenti. Il caso più semplice di dipendenza esplicita è quello delle f. razionali, intere e fratte, nelle quali la y è data come un polinomio o rispettivamente come un quoziente di polinomi nelle variabili indipendenti. Il caso più semplice di dipendenza implicita è quello delle f. algebriche, che sono le f. definite implicitamente da relazioni del tipo f (x, y)=0 nelle quali f (x, y) è un polinomio nelle due variabili x, y (per es., y2−x = 0). Quando una f. non è né razionale né algebrica si chiama f. trascendente. Si dicono poi trascendenti elementari le potenze di x con esponente irrazionale, le f. circolari (o trigonometriche) e iperboliche e le loro inverse, la f. esponenziale e la f. logaritmica. È possibile inoltre effettuare la composizione di f.: se y =f (u) e u = z (x) sono due f. date, allora si ha che y è f. di x: y = f [ z (x) ], e tale f. si dice composta mediante le due f. date. Per poter parlare della f. composta bisogna, naturalmente, supporre che l'insieme di variabilità di z sia contenuto (anche soltanto in modo parziale) nell'insieme di definizione della funzione.

Lo studio delle funzioni

Concetti fondamentali ai quali si fa ricorso nell'esame di una f. sono quelli di continuità (→ continuo), derivabilità (→ derivata), integrabilità (→ integrale); si studiano le periocità della f., eventuali simmetrie, si calcolano limiti e asintoti, quando possibile si ricorre allo sviluppo in serie per trattare le f. più complesse. Le procedure che permettono di analizzare una f. per determinarne alcune caratteristiche qualitative e tracciarne un grafico sommario che ne indichi l'andamento prendono comunemente il nome di studio di funzione.

Le funzioni di verità

In logica matematica, f. indica un'operazione univoca che, applicata a elementi (argomenti) di un certo insieme, dà come risultato (valore) un elemento dello stesso o di un altro insieme. Di particolare interesse, sono le f. di verità che hanno, sia come argomenti sia come valori, vero (V) e falso (F); vengono espresse di solito da proposizioni composte ottenute da proposizioni elementari (che possono essere appunto vere o false) mediante opportuni connettivi negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione ecc.), ciascuno dei quali è a sua volta una f. di verità. La corrispondenza tra i valori assunti dagli argomenti e quelli assunti dalla f. può essere illustrata in una tabella, detta tavola di verità della funzione.