Geometria      Su alcune note di storia della geometria      Tutorial di matematica  

Geometria s.f. (gr. geometria, da g, terra e mtron, misura). Parte della matematica che ha per oggetto lo studio della struttura e delle proprietà dello spazio, degli enti in esso contenuti e delle sue generalizzazioni.  Per estens. Disposizione ordinata di una o più cose che formano figure regolari: La geometria di una città, di uno schieramento militare. Nel gioco del calcio, sviluppo di un'azione secondo determinati schemi razionali. Geometria algebrica, scienza che studia con i metodi dell'algebra e con un linguaggio geometrico enti geometrici rappresentabili con funzioni algebriche.  Geometria analitica, scienza che studia le proprietà degli enti geometrici con i metodi dell'analisi matematica. Geometria descrittiva, geometria che studia gli enti spaziali mediante proiezioni ortogonali, centrali o quotate, e in particolare mediante la prospettiva. Geometria differenziale, geometria che studia le proprietà degli enti geometrici (come la curvatura e l'arco di una curva sghemba, le linee geodetiche di una superficie, ecc.) con i metodi del calcolo differenziale.  Geometria a n dimensioni, geometria che opera in uno spazio a n dimensioni, dove n è un numero intero positivo qualsiasi. Geometria elementare, geometria che tratta direttamente, con procedimenti sintetici, le principali proprietà dello spazio euclideo. Geometria dello spazio, geometria a tre dimensioni, geometria che opera sullo spazio a tre dimensioni, cioè sullo spazio che intuitivamente siamo condotti a considerare. Geometria euclidea, geometria che accetta il postulato delle parallele di Euclide. Geometria non euclidea, geometria che, fra i suoi postulati, non ammette quello delle rette parallele introdotto da Euclide.  Geometria piana, geometria a due dimensioni, geometria che opera sul piano. Geometria proiettiva, geometria che studia le proprietà dello spazio invarianti per trasformazioni proiettive. Geometria affine, geometria che studia le proprietà di uno spazio invarianti per trasformazioni affini. Geometria non archimedea, geometria in cui non è valido il postulato di Archimede secondo cui, dati i segmenti AB e A'B' minore di AB, esiste sempre un multiplo di A'B' che è maggiore di AB. Geometria riemanniana, geometria che studia gli spazi di Riemann.

- Mecc. e Fis. Geometria delle masse, parte della meccanica che studia i problemi relativi alle distribuzioni di masse su punti, linee, superfici e volumi, come ad es. il calcolo del baricentro o del momento d'inerzia.

u Matematica

I documenti antichi (papiri egizi, tavolette di argilla con iscrizioni cuneiformi ritrovate in Mesopotamia) testimoniano l'esistenza di conoscenze matematiche abbastanza avanzate già intorno al 2000 a.C. Tuttavia la geometria, intesa come disciplina astratta e rigorosamente fondata su un metodo deduttivo, è una creazione originale dello spirito greco.

I filosofi della scuola ionica, soprattutto Talete di Mileto (al quale numerosi teoremi di geometria elementare vengono ancora oggi attribuiti, sia pure con molte riserve), furono i primi a intuire la possibilità di dimostrare le proprietà delle figure geometriche, cioè di dedurle da alcuni princpi intuitivi.

Successivamente la scuola pitagorica diede un contributo significativo alla conoscenza della geometria e dell'aritmetica: a questa scuola si fa risalire, tra l'altro, la scoperta delle grandezze incommensurabili, che rivoluzionò il concetto di numero accettato a quell'epoca; in effetti, i pitagorici ne compresero forse la novità, ma non dovettero intuirne il profondo significato. I problemi che nacquero da questa scoperta suscitarono le critiche degli eleati e la loro difficoltà venne superata mediante la teoria delle proporzioni elaborata da Eudosso di Cnido. Il progresso della matematica non sembra sia stato influenzato dalla filosofia aristotelica, nè dall'aperto contrasto fra questa e la teoria platonica delle idee e dei numeri.

Il coronamento di tre secoli di ricerche si manifestò negli Elementi di Euclide d'Alessandria ( III sec. a.C.). Gli Elementi, infatti, costituiscono la prima trattazione sistematica e rigorosa della geometria; essi, per lungo tempo, vennero considerati il testo perfetto e insuperabile, sia dal punto di vista dello svolgimento logico sia da quello della conoscenza. La materia, esposta nei tredici libri costituenti questa opera, coincide approssimativamente con l'odierna geometria elementare.

La trattazione è condotta secondo il metodo assiomatico che, dopo essere stato trascurato per molti secoli, fu ripreso e perfezionato nel secolo scorso e ha tuttora un'importanza essenziale. In particolare, nel quinto libro degli Elementi si trova esposta una teoria delle grandezze, basata su postulati, ossia verità comunemente accettate senza dimostrazione. La trattazione della geometria si basa su un sistema di postulati, alcuni dei quali esplicitamente enunciati all'inizio dei vari libri, altri introdotti dall'autore nel corso di una dimostrazione: famoso, ad esempio, quello delle parallele.  Nel III sec. a.C. la geometria raggiunge l'apogeo; Alessandria, fondata nel 331 a.C., doveva divenire (e rimanere per molti secoli) il centro non solo dell'espansione mediterranea, ma anche della cultura e delle scienze. Con Tolomeo I, Alessandria si arricchì di un museo famoso (sul modello pitagorico) e di una ricchissima biblioteca (sembra contenesse pi di 700.000 volumi), che le conferirono il primo posto fra tutte le altre città, nel domino scientifico. Agli studiosi si offriva vitto e alloggio gratuiti, e una generosa indennità senza alcun obbligo di insegnamento: questa consuetudine rimase anche dopo la conquista romana. Ciò spiega lo sviluppo della scienza, e in particolare della matematica e dell'astronomia, in Alessandria, anche quando cominciò il declino in altri paesi. Numerosi astronomi, geografi, matematici e fisici (ancora quasi essenzialmente naturalisti) e lo stesso Archimede di Siracusa sembrano avere avuto contatti più o meno profondi con la scienza alessandrina.

Nel  III sec., Apollonio di Perge (residente ad Alessandria) scrisse un trattato sulle coniche e, con tutta probabilità, scoprì le epicicloidi. Tuttavia l'opera dominante rimane senza dubbio quella di Archimede (l'esatto calcolo di p eseguito per mezzo di approssimazioni successive, la determinazione del volume del cilindro e di quello della sfera, la quadratura del segmento parabolico, l'introduzione dei momenti in meccanica, ecc.), il quale, riprendendo il metodo di esaustione già usato da Eudosso ed Euclide, aprì la via al calcolo integrale. Archimede unì uno spirito critico rigoroso a una facoltà eccezionale d'osservazione e d'applicazione. Il suo metodo divenne una delle caratteristiche della scienza alessandrina, i cui principali esponenti, dopo Euclide, furono Eratostene (III sec. a.C.), Ipparco (II sec. a.C.), Diocle (secc. II-I a.C.), Erone (I sec a.C.), Menelao (I sec. d.C.), Tolomeo (II sec. d.C.), Diofanto (III sec. d.C.). La decadenza subentrò repentina: gli ultimi scrittori furono Boezio, fatto sopprimere dai Goti nel 524, e Cassiodoro, che fondò a Vivarium, in Calabria, un convento dove, per la prima volta, i monaci si occupavano anche della trascrizione di antichi manoscritti. Il crollo definitivo avvenne un secolo dopo, con la presa di Alessandria a opera degli Arabi del califfo 'Umar, durante la quale anche la preziosa biblioteca venne incendiata.

In seguito alla conquista araba la matematica e in particolare la geometria decaddero in tutto il bacino del Mediterraneo: gli Arabi furono il solo popolo che, almeno parzialmente, coltivò questi studi. Bisogna giungere al Rinascimento per assistere a un nuovo sviluppo della geometria in Occidente.

I primi commentatori di Euclide avevano già espresso dei dubbi non sulla validità, ma sull'evidenza del postulato delle parallele e si erano sforzati sia di fornirne una dimostrazione accettabile, sia di sostituirlo con un postulato più intuitivo; il problema era stato ripreso, in seguito, anche da alcuni matematici arabi. In Europa la questione sollevò l'interesse soprattutto del padre Saccheri, di Lambert, di Le Gendre, di Gauss e dei suoi collaboratori. L'insuccesso di ogni tentativo fece nascere l'idea che questo postulato non fosse dimostrabile tramite ammissioni semplici e accettabili.

Tale ipotesi fu presto confermata: J. Bolyai e Lobacevskij scoprirono indipendentemente la possibilità di costruire una geometria tra i cui postulati non fosse compreso quello di Euclide, che veniva sostituito dal cosiddetto postulato di Lobacevskij, il quale ammette l'esistenza di due rette parallele a una retta assegnata passanti per un medesimo punto esterno a essa. Un'ulteriore conferma ai risultati conseguiti dai due matematici si trovò in un articolo del Diario di Gauss, il quale aveva già riconosciuto l'esistenza di una siffatta geometria (che fu detta "iperbolica"), ma l'aveva tenuta celata nel timore di non essere compreso dai contemporanei. Più tardi, Riemann completò la lista delle geometrie non euclidee con la scoperta della geometria ellittica, in cui il quinto postulato di Euclide è sostituito dal postulato che non esistono rette parallele.

La scoperta delle geometrie non euclidee mise in crisi il significato stesso di questa scienza e segnò l'inizio di una profonda rivoluzione concettuale nel pensiero matematico moderno. Infatti la nozione classica di geometria come sistema assiomatico-deduttivo, in cui a partire dagli assiomi considerati come proprietà evidenti dello spazio si deducono le proprietà degli enti geometrici, diventa priva di significato in quanto l'esistenza delle geometrie non euclidee dimostra il carattere arbitrario e convenzionale dei postulati; in altri termini tali postulati possono essere suggeriti, ma non imposti dalle nostre esperienze elementari derivate dal mondo che ci circonda. Dalla constatazione della convenzionalità dei postulati nacque l'esigenza di accertare l'indipendenza e la compatibilità di tali proposizioni. Tale indirizzo si sviluppò soprattutto per opera di D. Hilbert, e portò a una completa chiarificazione dei fondamenti logici della geometria.

I metodi della geometria moderna sono in genere molto diversi da quelli della geometria elementare e si basano sui procedimenti della geometria analitica fondata da Pascal e Fermat in cui le proprietà degli enti geometrici sono ricondotte a proprietà di equazioni e funzioni e quindi sono studiate con i metodi dell'analisi matematica. Dalla geometria analitica sono sorti nel secolo scorso due importanti rami della geometria: la geometria algebrica e la geometria differenziale, che permettono di introdurre nell'analisi matematica il linguaggio conciso e intuitivo della geometria.

v Geometria algebrica

Nella sua forma attuale la geometria algebrica è una parte dell'algebra astratta. Lo scorso secolo per geometria algebrica si intendeva lo studio del problema della intersezione di curve nel piano o di superfici nello spazio. Il problema della intersezione acquista un carattere più generale se ci si pone nei corpi C e C (C essendo l'insieme dei complessi) e si descrivono le curve e le superfici algebriche per mezzo di equazioni polinomiali in coordinate complesse omogenee. Così facendo la trattazione della intersezione di enti algebrici può essere svolta senza eccezioni e con maggior concisione essendo C un corpo chiuso. La geometria algebrica attuale è nata nella prima metà del   XX sec. come tentativo di estendere tale trattazione a "curve" e "superfici" su spazi affini Kn, dove K è un corpo chiuso qualsiasi. Le "curve" o "superfici" vengono ora chiamate "insiemi algebrici", definiti come quella porzione di Knformata dai "punti" p4 (x1,...,xn) che sono soluzioni del sistema di equazioni algebriche:

f1(x1,....,xn)=0

f2(x1,....,xn)=0

. . . . . . . . . . . . .

fm (x1,....,xn)=0.

Si definiscono proprietà geometriche di un insieme algebrico quelle proprietà dell'insieme che non dipendono dalla scelta di un particolare corpo chiuso K. Il problema della geometria algebrica consiste quindi nell'introdurre delle varietà algebriche astratte non più collegate a Kn ed è in una certa misura analogo al problema della geometria differenziale, in cui si definiscono le varietà differenziali indipendentemente dalla immersione in Rn.

v Geometria differenziale

Lo  scopo della geometria differenziale "classica" è stato quello di descrivere con metodi propri del calcolo infinitesimale "situazioni geometriche" nel piano e nello spazio. Negli ultimi decenni questa disciplina ha grandemente mutato la propria linea di sviluppo, prefiggendosi come scopo quello di studiare le proprietà differenziali di enti geometrici indipendentemente dalla loro immersione in uno spazio ambiente. Il mutato indirizzo ha portato a un grande sviluppo della disciplina, che ha trovato applicazione in nuovi campi e fornito alcuni risultati significativi, sia relativi a problemi classici riaffrontati con una nuova impostazione, sia in ambiti innovativi (come la scoperta di strutture differenziabili esotiche nello spazio a quattro dimensioni).

Si fornisce più avanti solo un breve resoconto dei risultati classici di geometria differenziale rinviando alla voce varietà per l'esposizione di alcuni dei concetti finora più usati dal nuovo indirizzo. Tutta la trattazione si intende svolta nello spazio euclideo a tre dimensioni (R); punti e vettori verranno indicati con xi, dove xi rappresenta la coordinata cartesiana, o la componente, generica (i =1, 2, 3).

Teoria delle curve. Un arco, o segmento, di curva, è un insieme di punti che può essere messo in corrispondenza biunivoca e continua con i punti di un intervallo chiuso dell'asse reale. Una curva è un insieme E di punti con le proprietà: 1. E si può porre in corrispondenza univoca e continua con un intervallo chiuso dell'asse reale; 2. per ogni punto P di E esiste un intorno sferico di P nel quale i punti di E costituiscono un numero finito di archi; 3. le coordinate xi dei punti di E hanno una rappresentazione parametrica xi(t) differenziabile.

Un parametro t, variabile nell'intervallo I si dice regolare, ovvero r-ammissibile (r numero intero 1) se le funzioni xi(t) sono differenziabili con continuità r-volte e se Si[x'i(t)]¹0 per ogni tI. A seconda del problema in esame occorre scegliere il grado di regolarità della classe di curve studiate: il problema delle tangenti richiede r 1, quello della curvatura r 2. Qui si supporrà sempre r 3. Se una curva ammette una rappresentazione regolare xi(t) ne ammette infinite.

Tra i parametri regolari che si possono scegliere ha un ruolo privilegiato il parametro "lunghezza d'arco", indicato con s. In ogni punto P=P(s) di una curva si definiscono tre vettori mutuamente ortogonali formanti il cosiddetto "triedro principale":

1. il vettore tangente normato xi(s) con: x i(s)=xi(s). (Il punto sopra  rappresenta la derivata rispetto a s).

2. Il vettore normale principale

Il fattore

è la curvatura in P e il suo inverso è il raggio di curvatura. Poichè per ogni s è:

il vettore xi(s), e quindi anche hi(s), è perpendicolare a xi(s)

3. Il vettore binormale xi(s) definito come il versore unitario perpendicolare a xi(s) e a hi(s), che rende la terna ordinata xi(s), hi(s), zi(s), orientata positivamente.

Poich il vettore  è perpendicolare a hi(s); esso giace nel piano di xi(s) e zi(s). Si dimostra che vale la relazione:

1)

in cui

è detta "torsione" della curva in P. Il segno va scelto in modo che il triedro sia orientato positivamente. La 1) e le relazioni:

2) x i(s)=K(s) hi(s)

3) x i(s)= - t(s) hi(s)

sono note come "formule di Frnet". Mediante la 2) e la 3) si può dimostrare che curve con k(s)40 sono rette e curve con t(s)40 e k(s)¹0 sono curve piane. Il piano per xi ehi è detto piano osculatore; quello per xi e zi, piano rettificante; quello per hi e zi, piano normale. Allo spostarsi di P(s) sulla curva, i versori del triedro principale si spostano sulla superficie di una sfera unitaria; le curve così descritte si chiamano indicatrici e offrono una descrizione intuitiva della curvatura e della torsione: nel caso di una retta la indicatrice delle tangenti si riduce a un punto e nel caso di una curva piana si riduce a un punto l'indicatrice delle binormali.

Teoria delle superfici. Le definizioni di porzione di superficie e superficie si danno in maniera analoga a quanto fatto per arco e curva. Poichè una rappresentazione parametrica di una superficie xi=xi (u1, u2) richiede due parametri (u1,u2), perchè sia r-ammissibile bisogna richiedere che le funzioni xi(u1,u2) siano r-volte differenziabili con continuità e che la matrice funzionale:

sia dovunque di rango 2. Parte della teoria delle superfici regolari, ossia con rappresentazioni r-ammissibili nel senso sopra detto, si può sviluppare facendo uso dei risultati della teoria delle curve (ad es. per definire tangenti, normali, lunghezza di un arco sulla superficie); molti altri concetti si possono tuttavia introdurre: ad es. linee e direzioni di curvatura, curvatura gaussiana e media, direzioni e linee asintotiche, area superficiale, ecc. Alcuni di questi concetti descrivono proprietà intrinseche della superficie, proprietà cioè che non dipendono dalla sua immersione in uno spazio ambiente. Lo studio di tali proprietà ha fornito le idee-guida per la fondazione della geometria riemanniana (usata in relatività generale) e per il nuovo indirizzo di geometria differenziale.

Si ricorda infine che la teoria delle superfici fornisce le basi teoriche della cartografia e della topografia.

Su alcune note di storia della geometria