MATEMATICA      Tutorial di matematica

matematica  s.f. (gr. mathematiche [tιchne]). Scienza deduttiva che studia le proprietà di enti astratti (numeri, figure geometriche, ecc.) e le loro relazioni. � Matematica elementare, parte della matematica comprendente l'aritmetica, il calcolo algebrico elementare e la geometria elementare. � Matematica attuariale, teoria matematica delle assicurazioni sulla vita umana. � Matematica finanziaria, teoria matematica del capitale e della capitalizzazione. � — Anche al pl. Il complesso delle scienze matematiche: D Possedeva forti e reali inclinazioni alle matematiche; aveva applicato queste alla astronomia (Tomasi di Lampedusa). � L'insegnamento di tali scienze: Vincere una cattedra di matematica.

u Scienze

Si  dice comunemente che la matematica sia nata in Grecia, verso il 600 a.C.; tale affermazione è vera soltanto in parte. Gli studi più recenti permettono di asserire che centri di interesse matematico si sono avuti già molto prima, più o meno indipendentemente gli uni dagli altri. I più antichi sembra siano stati quelli del Medio Oriente, da cui i Greci avrebbero tratto, secondo le loro stesse testimonianze, una parte delle loro conoscenze. Altri si estinsero senza aver avuto influenza sullo sviluppo attuale della matematica.

v La matematica precolombiana

La  civiltà degli Incas dovette senza dubbio comprendere anche un complesso di conoscenze matematiche che tuttavia non possono essere stabilite con esattezza, a causa della mancanza di ogni documentazione scritta dell'epoca. Testimonianze più sicure abbiamo nel caso dei Maya, che approfondirono soprattutto il problema della misura del tempo, del calendario e delle previsioni astronomiche. Il primo giorno della loro storia era il 12 agosto 3113 a.C.; le loro osservazioni si svolsero per un periodo di trentotto secoli. Alcune iscrizioni precisano con una sorprendente approssimazione lo scarto fra l'anno solare e l'anno ufficiale di 365 giorni. Questa scienza procedeva di pari passo con l'impiego sicuro di uno strumento aritmetico fondato su un sistema di numerazione in base 20. Tutto ciò conferma, quindi, l'esistenza, presso i Maya, di un'attività matematica notevole, nell'ambito di una civiltà già molto antica.

v La matematica cinese

La cultura matematica cinese fu per molti secoli stranamente ignorata; solo in tempi relativamente recenti essa fu oggetto di accurati studi. Le prime tracce dell'esistenza di una matematica cinese risalgono a un'epoca molto antica. Già nel  XIII sec. a.C. i Cinesi erano in possesso di un sistema di numerazione decimale simile al nostro sistema posizionale. Si può notare nella evoluzione della matematica cinese un certo parallelismo con quella greca, araba e occidentale. Al  III sec. a.C. risalgono una dimostrazione originale eseguita da un matematico cinese del teorema di Pitagora, il calcolo approssimato di p e la risoluzione sistematica delle equazioni di primo grado. L'uso dello zero comparve solo nell' VIII sec. d.C. Nel  XII e nel  XIII sec. si ebbe un notevole sviluppo dell'algebra cinese. Dopo la conquista manciω lo spirito di ricerca si affievolì e l'attività matematica si ridusse ad alcune pratiche di uso comune. Un problema tuttora aperto è se lo sviluppo, sfortunatamente incompleto, della matematica cinese fu autonomo. Certamente esso influenzò il risveglio della matematica in Occidente all'inizio del XV sec.

v La matematica preellenica

La  matematica ellenica fu influenzata dalle conoscenze degli Egizi e dei Babilonesi. Le notizie che conosciamo sullo sviluppo della matematica in Egitto provengono per la maggior parte dall'esame di un ristretto numero di papiri. Il più antico di questi è quello comunemente indicato con il nome di grande papiro di Mosca.

Gli enunciati in esso contenuti costituiscono l'applicazione di alcune regole empiriche (per es. di quella relativa al calcolo del volume di una sfera) comprovanti l'esistenza di una notevole attività matematica in un'epoca anteriore al 2000 a.C. In modo quasi paradossale, i papiri più recenti testimoniano, invece, un decadimento piuttosto che un progresso in questo campo di conoscenze. La matematica sembra infatti ridotta a un insieme di procedimenti pratici per il calcolo numerico e la misura dell'estensione dei campi. Tale dovette essere, all'incirca, lo stato della matematica egizia quando i Greci ne vennero a contatto. Per quanto riguarda le conoscenze dei Babilonesi, l'interpretazione di iscrizioni in caratteri cuneiformi incise su tavolette d'argilla scoperte in epoca relativamente recente, ha permesso di attestare l'esistenza, oltre 2000 anni a.C., di un notevole dominio del calcolo in svariati problemi di geometria e di astronomia. Per es., i Babilonesi applicavano già procedimenti di calcolo equivalenti alla risoluzione delle equazioni di secondo grado e di alcuni tipi particolari di equazioni di terzo grado. E' opinione diffusa tra gli storici della matematica che anche a Babilonia la matematica stesse attraversando un periodo di decadenza, quando i Greci ne vennero a contatto. Ciò nonostante in quel periodo i Babilonesi, che usavano un sistema di numerazione in base 60 misto a quello in base 10, erano probabilmente capaci di calcolare la data di un'eclisse. Non devono essere ignorati infine i Fenici, dai quali i Greci trassero il loro sistema di numerazione.

v La matematica ellenica

La tradizione vuole che molti matematici greci abbiano soggiornato a lungo in Egitto e in Mesopotamia. Essi tuttavia conferirono alla matematica greca un assetto essenzialmente nuovo e ne fecero una scienza razionale, ossia una scienza costruita con un processo deduttivo a partire da alcune verità evidenti e logicamente vere.

La scuola ionica con Talete di Mileto si orientò per prima verso questo ordine di idee, nel VI sec. a.C. La scuola pitagorica, detta anche scuola italica, fondata intorno alla prima metà del  VI sec. a.C. da Pitagora, aveva il carattere di una setta mistica di iniziati. La sua sede principale di Crotone, sul golfo di Taranto, finμ per essere distrutta all'inizio del  V sec. a.C. proprio a causa di divisioni politiche e religiose; ma la setta sopravvisse ancora per un certo periodo, prima in Grecia e poi ad Alessandria. In un secolo e mezzo, i pitagorici si applicarono a un primo gruppo di quattro discipline matematiche: aritmetica, musica o aritmetica degli intervalli musicali, geometria piana, astronomia o geometria sferica. La scuola professava una dottrina della conoscenza fondata essenzialmente su una particolare concezione dei numeri intesi al tempo stesso come numeri interi e fattori di molteplicità. Secondo alcuni pitagorici, ogni cosa era individuata da un numero e, senza la conoscenza di questo, essa non poteva essere conosciuta. In tale ordine di idee, tutti i rapporti di grandezze dovevano essere rapporti di numeri interi. Questa posizione fu aspramente criticata dalla scuola di Elea. Tra gli argomenti più famosi portati contro i pitagorici ricordiamo i paradossi di Parmenide e di Zenone. La scoperta, tenuta segreta per molto tempo, dell'esistenza di grandezze incommensurabili, quali la diagonale e il lato di un quadrato, oppure un segmento e la sua parte aurea, segnò una tappa decisiva nella storia delle matematiche. Le difficoltà relative all'esistenza di grandezze incommensurabili furono superate nel  IV sec. mediante l'originale teoria delle proporzioni esposta da Eudosso, che ancora oggi è un modello di schema rigoroso; la dottrina dei pitagorici e la loro concezione mistica dei numeri cedettero così il passo alla visione platonica della matematica e alla teoria delle idee. Ad Alessandria, intorno al 300 a.C., furono scritti da Euclide gli Elementi, che riassumono le conoscenze matematiche note fino a quel momento, esponendole per la prima volta nel quadro di una trattazione sistematica e rigorosa. Fondata nel 331 a.C., Alessandria ben presto sarebbe divenuta il centro della cultura ellenica; essa, infatti, accolse e favorì tutti coloro che, da Euclide a Diofanto, da Pappo a Proclo, ebbero fama e prestigio nel campo delle scienze matematiche greche. L'importanza degli Elementi fu capitale. Tale opera costituì per lungo tempo il simbolo concreto della vera conoscenza, che risultava sistematicamente esposta attraverso un procedimento assiomatico. Il sistema euclideo comprende inoltre una teoria generale delle grandezze fondata su postulati, fra i quali importantissimo il seguente: “Due grandezze uguali a una medesima grandezza sono uguali fra loro”. La costruzione della geometria richiese in seguito altri postulati, fra cui il più famoso resta il quinto, detto postulato delle parallele o, semplicemente, postulato di Euclide. In tutta la trattazione, nozioni comuni e postulati si impongono alla nostra ammirazione per la loro chiarezza e la loro evidenza. I postulati esprimono quasi sempre verità geometriche, mentre le nozioni comuni sono verità generali, termini o anche definizioni. Gli Elementi dimostrarono che, sulla base di concetti semplici e intuitivi, alcuni facilmente ammessi veri dalla mente umana, altri definiti opportunamente attraverso precedenti, si può costruire una scienza, in particolare la geometria, mediante un procedimento puramente deduttivo, ossia come un insieme di definizioni e di dimostrazioni concatenate logicamente le une con le altre.

Nel III sec. a.C., la ricerca geometrica raggiunse presso i Greci il suo apogeo con Apollonio di Perge e Archimede. Ad Apollonio dobbiamo un vasto trattato sulle sezioni coniche e, probabilmente, anche un accurato studio sulle epicicloidi.

Archimede di Siracusa fu senza dubbio il massimo esponente della cultura matematica di tutta l'antichità. I suoi studi, in particolare il calcolo di p mediante approssimazioni successive, la determinazione dei volumi del cilindro e della sfera, la quadratura del segmento parabolico, l'impiego dei momenti statici e dei centri di gravità, ecc., segnarono infatti l'inizio della meccanica e aprirono la via al calcolo integrale. Come metodo di conoscenza, quello archimedeo contrastava nettamente con quello delle idee platoniche. Esso univa l'applicazione esatta all'estrema rigorosità nei ragionamenti; ciò si nota, per es., da un lato nella formulazione del principio d'idrostatica noto ancora oggi con il nome di principio d'Archimede e dall'altro nella perfezione con cui è applicato, nel calcolo delle aree e dei volumi, il metodo di esaustione di Eudosso. Invece l'ideale platonico consisteva nella contemplazione della verità razionale e quasi disprezzava le applicazioni tecniche. La scienza, così come fu intesa da Archimede, è pertanto estremamente vicina, nei suoi concetti informatori, allo spirito di ricerca e di conoscenza che anima la matematica moderna. Lo stesso carattere si ritrova nella scienza alessandrina, con la quale Archimede ebbe qualche contatto. Dopo il IV sec. si accentuò la decadenza della scienza greca, che rivolse il suo interesse sempre più all'astrologia, al misticismo e persino alla cabala. Oggetto di derisione e di disprezzo, i matematici furono persino perseguitati. Dopo la chiusura della scuola di Atene ordinata da Giustiniano (529), la ricerca scientifica decadde rapidamente e all'inizio del   VI sec. era scomparsa qualunque traccia di vera scienza. Tuttavia, proprio in quell'epoca, sotto la direzione di Cassiodoro, i monaci del convento di Vivarium, in Calabria, copiavano gli antichi manoscritti, preparando in tal modo il terreno propizio alle prime manifestazioni del Rinascimento. Va sottolineato però che l'eredità scientifica dei Greci non fu raccolta direttamente dal mondo occidentale, ma da quello arabo che seppe valorizzare anche le conoscenze scientifiche degli Indiani.

v La matematica in India

Malgrado varie testimonianze inducano a ritenere che in India i primi studi matematici siano stati compiuti intorno al 1000 a.C., solo nell'epoca che va dal  I all' VIII sec. d.C. i matematici indiani raggiunsero la piena maturità di pensiero scientifico. Tuttavia precedentemente essi avevano avuto contatti con il mondo culturale greco. Nel  IV sec. le conquiste di Alessandro Magno, la diffusione del buddhismo in Cina e l'estensione del mondo arabo moltiplicarono i punti di contatto con le altre popolazioni. Ciò nonostante, la matematica indiana si presenta sotto un aspetto completamente originale, caratterizzato da una spiccata tendenza verso il calcolo numerico piuttosto che verso il rigore delle dimostrazioni. Si deve agli Indiani la scoperta fondamentale del sistema di numerazione “posizionale”, fondato sull'uso di nove cifre e dello zero (sistema decimale). Un siffatto sistema rimase sempre sconosciuto ai Greci; esso fu trasmesso all'Occidente molto tempo dopo dagli Arabi. Questo sistema di numerazione comparve nel Suryasiddhanta, un brevissimo trattato che risale probabilmente al VI sec. d.C.; pare non se ne trovi traccia in nessuna opera precedente. Gli studi dei matematici indiani in generale furono associati a lavori di astronomia. Ciò accadde, per es., nel caso di Aryabhata, vissuto intorno al 470, e in quello di Brahmagupta, nato intorno al 598; molto tempo più tardi, verso il 1150, BhAskara scrisse un trattato di aritmetica nel quale è esposto un procedimento per il calcolo di radici quadrate; infatti vi è svolta una teoria delle equazioni di primo e di secondo grado, non più sotto forma geometrica come si usava presso i Greci, ma sotto una forma che possiamo già definire algebrica.

Il carattere operativo della matematica indiana si accompagnava a una concezione generale dei numeri, alla quale rimase sconosciuto il problema dei numeri irrazionali, ma che condusse in modo molto spontaneo alla scoperta dei numeri negativi, permettendo quindi di prendere in considerazione i due segni di una radice quadrata, entrambe le soluzioni di un'equazione di secondo grado ecc.; si apriva così la via all'algebra formale con la quale gli Arabi si sarebbero ben presto cimentati.

v La matematica araba

Con una rapidità eccezionale, gli Arabi avevano sottomesso all'islamismo tutti i territori che si estendevano lungo le sponde meridionali del Mediterraneo, dalla Persia ai Pirenei. Nel 642, essi occuparono Alessandria. Quando la scuola neoplatonica era stata chiusa, molti dei suoi frequentatori si erano rifugiati fino in Persia. Anche i nestoriani, banditi dall'ortodossia bizantina, avevano scelto la stessa via, spostandosi verso l'India e la Cina. Nel 762, Al-Mansur, il secondo califfo, si installò a Bagdad con l'intenzione di trasformare questa città in una grande capitale scientifica raccogliendo ciò che rimaneva della scienza alessandrina. Nell'832, il califfo Al-Ma'mun vi fondò la “Casa della Sapienza”, una specie di accademia delle scienze, il primo e il più famoso fra tutti i centri matematici orientali. Qui fu tradotta, assimilata e studiata tutta l'opera scientifica dei Greci. Sviluppando i propri studi e allargando le proprie conoscenze alla luce e nell'influenza della stessa scienza alessandrina, gli Arabi si considerarono, a buon diritto, gli eredi spirituali dei Greci. Tuttavia essi non tardarono a tradurre anche i testi indiani di astronomia e a sperimentare il valore, nonchè l'utilità pratica, dei procedimenti di calcolo in uso presso questo popolo. L'attività del risveglio scientifico manifestatasi a Bagdad era destinata a prolungarsi anche durante la dominazione mongolica e a far sentire la sua influenza fino a Samarcanda. Tuttavia fu dalla Spagna, da Siviglia, da Granata, da Cordova, che la scienza e la matematica arabe erano destinate a influenzare il mondo cristiano. Citiamo ora alcuni rappresentanti della cultura araba, astronomi e matematici a uno stesso tempo, che primeggiarono nell'ambiente scientifico di Bagdad. Primo fra tutti, Al-Kharezmi ( ix sec.) che ebbe dal califfo Al-Ma'mun l'incarico di misurare un grado di arco terrestre e che viene citato comunemente come l'inventore dell'algebra; Abu al-Wafa' ( X sec.), commentatore delle opere di Euclide e di Diofanto, nonchι uno degli iniziatori della trigonometria; Al-Tusi (1201-1274), le cui dissertazioni sulle proposizioni di Euclide ispirarono, nel XVIII sec., a P. Saccheri notevoli considerazioni; e ancora l'astronomo Al-Zarqali di Cordova ( XI sec.). Successivamente la conquista da parte dei Mongoli (Bagdad cadde nelle mani del conquistatore Hulagu nel 1258), la cacciata dei Mori dalla Spagna e la dominazione turca ebbero sulla scienza araba un'influenza decisamente negativa. A partire dal XIV sec., non si nota più nessun lavoro originale o degno di menzione.

v La matematica a Bisanzio

Malgrado i provvedimenti presi da Giustiniano contro la scuola di Atene e gli ostacoli posti dall'ortodossia religiosa, nell'Impero romano di Occidente, perdurò, fino al XVI sec., una certa tradizione scientifica e matematica.

La prima università di Bisanzio fu fondata da Costantino nel 330. Sotto i Paleologi, dopo la rovina dell'Impero latino (1204-1261), causata dalla quarta crociata, si manifestò nella matematica e nell'astronomia un certo risveglio dovuto all'influenza araba, tuttavia vi furono più trattatisti che veri scienziati. Il merito principale dei Bizantini è quello di avere salvato le opere greche e orientali che essi riportarono in Italia nel 1453, dopo la conquista di Costantinopoli da parte dei Turchi.

v Lo sviluppo della matematica

Nel  mondo cristiano occidentale, per assistere a un interesse per l'attività matematica bisogna arrivare fino a Gerberto d'Aurillac che divenne poi papa col nome di Silvestro II. L'opera di Gerberto e quella dei suoi discepoli permettono soprattutto di giudicare il livello a cui si era arrestata la conoscenza matematica. Le ricerche nel campo dell'aritmetica, ispirate dall'intenzione di sostituire a operazioni eseguite su abaci altre operazioni eseguite direttamente sopra numeri scritti, rivela una prima influenza dell'aritmetica araba, che Gerberto pare avesse assimilata dagli Arabi della Spagna. La trattazione della geometria è certo ben lontana dal gareggiare con gli Elementi di Euclide. Le proprietà geometriche sono ancora trattate come verità slegate, provate dall'esperienza, ma senza legame razionale. Si era smarrita l'essenza della geometria greca, ossia la concezione della geometria come sistema ipotetico- deduttivo.

Il progresso delle scienze e il risveglio dell'interesse in Occidente per la cultura greca può essere spiegato parzialmente dagli intensi contatti commerciali, dalle relazioni fra Roma e Bisanzio, dalle crociate e dall'Impero latino, dal trasferimento in Occidente, dopo la caduta di Costantinopoli in mano ai Turchi, degli alti dignitari di Bisanzio con tutti i loro averi e manoscritti preziosi, dall'influenza dei pensatori ebrei dimoranti nei territori abbandonati dagli Arabi, ecc., ma queste ipotesi non spiegano tutto. Bisogna anche tener conto di certe iniziative individuali. Tra queste ricordiamo il periplo del Mediterraneo che Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano) compμ per istruirsi; i suoi libri, il Liber abbaci (1202) e la Practica geometriae(1220), testimoniano la sua cultura e profondità di pensiero. In questo stesso periodo, Guglielmo di Moerbecke (1215-1286) tradusse in italiano i lavori di Archimede. Bisogna però attendere il 1494 per trovare la prima opera veramente divulgativa del pensiero matematico arabo, il cui autore fu Luca Pacioli. L'opera del Pacioli fu molto importante, perchè a essa avrebbero attinto i massimi algebristi del secolo successivo. Con gli algebristi italiani (S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari e R. Bombelli), la matematica si orientò su una linea di sviluppo assolutamente nuova. La chiarezza di concezioni e il dominio del calcolo che caratterizzano gli algebristi italiani condussero a una tale maturità di pensiero che il problema della risoluzione di un'equazione algebrica poteva ormai essere affrontato in tutta la sua generalità.

D'altra parte un vasto problema ben formulato serve da filo conduttore per la scoperta e la determinazione dei mezzi necessari per risolverlo, discuterlo e generalizzarlo; questo accadde per il problema fondamentale dell'algebra. Gli algebristi superarono con successo i casi dell'equazione di terzo e di quarto grado pervenendo, per il calcolo delle radici di tali equazioni a partire dai loro coefficienti, a formule nelle quali intervenivano solamente estrazioni di radici quadrate e operazioni aritmetiche ordinarie. Da queste ricerche ebbero origine nuovi problemi tra i quali ricordiamo il problema relativo alla risoluzione delle equazioni di grado superiore al quarto e il problema dell'esistenza delle radici quadrate dei numeri negativi (numeri immaginari).

Questi due problemi costituiscono i primi esempi di come la ricerca matematica si è sviluppata, estesa e ramificata fino ai nostri giorni.

La prima di tali questioni doveva interessare in seguito tutti i massimi algebristi e analisti, tra i quali, in particolare, Eulero (1707-1783) e Lagrange (1736- 1813).

Ogni discussione, pur feconda di altre scoperte, ebbe termine solo quando Abel (1802-1829) ebbe dimostrato l'impossibilità di risolvere l'equazione generale di quinto grado per radicali. Questo risultato, chiarito e generalizzato dal francese Evariste Galois (1811-1832), considerato da molti il più grande matematico di tutti i tempi, si estese nell'ambito della teoria dei numeri algebrici. Il secondo problema condusse inevitabilmente all'introduzione dei numeri complessi prima nell'algebra e poi nell'analisi. Tale estensione basta ad assicurare la validità del teorema fondamentale dell'algebra secondo il quale ciascuna equazione algebrica di grado n ammette esattamente n radici (ciascuna contata un numero di volte uguale al suo ordine di molteplicità). Questo teorema fu enunciato e dimostrato per la prima volta da Gauss. D'altra parte, si sarebbe presto notato che, nell'analisi appena agli inizi, e della quale nulla lasciava prevedere ancora l'immenso ulteriore sviluppo, l'introduzione dei numeri complessi, di cui i numeri reali costituivano una classe particolare, rivestiva un'importanza essenziale.

I migliori continuatori della tradizione algebrica italiana si ebbero in Francia, con Viète (1540-1603), Cartesio (1596-1650) e Fermat (1601- 1665). Questi matematici, in un certo senso, perfezionarono il calcolo algebrico, che ci è pervenuto appunto in questa ultima forma, fatta eccezione per i suoi sviluppi più recenti.

A Cartesio e a Fermat dobbiamo l'introduzione del concetto di sistema di coordinate, la cui applicazione avrebbe avuto sorprendenti conseguenze. Esso trasformò in pratica la geometria, divenuta conseguentemente analitica, in un semplice campo di applicazione dell'algebra. Il calcolo si sostituì alle dimostrazioni rigorose eseguite a partire da assiomi. In tale modo si preannunciava una certa unificazione delle varie discipline matematiche, a cui si sarebbe associata ben presto anche l'analisi.

L'estensione della geometria analitica del piano a quella dello spazio condusse alla concezione di uno spazio a n dimensioni e, nello stesso tempo, suggerì l'idea di estendere a esso la geometria. Questa idea fu realizzata più tardi da L. Schlδfli (1814-1895). Gli spazi a n dimensioni assunsero l'aspetto di efficacissimi strumenti della matematica nelle speculazioni successive.

L'algebra introdusse nella geometria il concetto di “ordine n di una curva algebrica” facendo corrispondere a ogni curva un'equazione il cui primo membro è un polinomio di grado n. Le rette sono così curve del primo ordine, le coniche del secondo ordine, ecc. Estendendo un'analoga trattazione alle curve generiche, alle superfici, alle varietà di ordine qualsiasi in uno spazio con un qualunque numero di dimensioni, si ottiene il programma della geometria algebrica. Ma, appena definito, tale programma dovrà includere la generalizzazione del concetto di coordinate. Nel piano, accanto alle coordinate di un punto, si possono definire in modo opportuno le coordinate di una retta; nello spazio, analogamente, si possono introdurre le coordinate di una retta e di un piano, e così di seguito. In tal modo, la geometria si arricchì di nuovi enti geometrici e di nuovi princìpi.

La connessione tra algebra e geometria risultò particolarmente feconda per un ulteriore sviluppo dell'algebra stessa, che si arricchì di nuovi concetti, come quelli di invariante, determinante, matrice, vettore, tensore, escogitando nuovi algoritmi (calcolo vettoriale, calcolo tensoriale, calcolo matriciale, ecc.), fino ad assumere quell'aspetto astratto che caratterizza l'algebra moderna. E' impossibile citare tutti coloro che presero attiva parte a questo sviluppo. Dinanzi a un campo così esteso, vien fatto di chiedersi se l'attività degli algebristi non sia il compendio dell'intera ricerca matematica. Ma vedremo che essa ne riassume solo una parte. Infatti sinora non si è parlato di uno dei capitoli più importanti della matematica: l'analisi.

v La scoperta dell'analisi

Newton  (1642-1727) e Leibniz (1646-1716) sono giustamente considerati gli iniziatori dell'analisi infinitesimale. Sulla priorità di questa scoperta nacque tra i due una delle più clamorose contese che la storia della matematica ricordi, complicata anche da profondi antagonismi politici e che si concluse con il prevalere dei sostenitori di Newton. Tuttavia nè le memorie di Newton (scritte tra il 1665 e il 1670 e pubblicate solo alcuni decenni dopo) nè quella di Leibniz (scritta nel 1675 e pubblicata nel 1684) rappresentano la nascita di un ramo della matematica del tutto nuovo.

Per non limitare la questione entro termini un po' troppo specialistici, possiamo dire che l'analisi trascende l'algebra, perchè estende il suo campo di applicazioni a grandezze infinite e infinitesime. La matematica greca aveva già incontrato l'infinito, come un ostacolo insuperabile: il paradosso di Zenone (Achille e la tartaruga) indicava semplicemente come assurda la possibilitè di eseguire la somma di un numero infinito di addendi e del tutto insensata un'uguaglianza del tipo: 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Il metodo di esaustione di Eudosso, tuttavia, aveva rimosso tale difficoltà. L'applicazione fattane da Archimede nel problema della quadratura del segmento parabolico è di un rigore che ancora oggi ci lascia ammirati. E' fuori dubbio che le somme di infiniti termini (le serie) e i prodotti con infiniti fattori comparvero molto prima della scoperta del calcolo infinitesimale.

Basta pensare alla formula di Wallis (1616-1703), che esprime p sotto forma di un prodotto infinito:

Ma i risultati così ottenuti, oppure intuiti, sono frutto più di un'estensione del simbolismo algebrico che di un calcolo eseguito con consapevole rigore. Una certa pratica delle operazioni a infiniti termini si era manifestata in questo modo giΰ prima dell'introduzione del “nuovo calcolo”, ma le condizioni necessarie per un'autentica precisione matematica furono messe in evidenza solo più tardi.

Il “nuovo calcolo” beneficiò, inoltre, di una seconda “pratica dell'infinito”: quella determinata dalla geometria degli indivisibili, in virtù della quale si considerava un'area come la somma di tutti i segmenti appartenenti a essa e paralleli a una direzione assegnata e, analogamente, un volume come la somma di infiniti piani indivisibili. Dovuta a B. Cavalieri (1598- 1647), G. Roberval (1602-1675) e B. Pascal (1623-1662), la teoria degli indivisibili venne sfruttata in un certo senso nella determinazione delle aree e dei volumi attraverso il calcolo integrale.

Se il problema delle aree ha aperto la via al calcolo integrale, quello delle tangenti ha aperto la via al calcolo differenziale, soprattutto a causa della sua connessione con il problema della ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione. La determinazione della retta tangente a una curva avrebbe invece condotto ai concetti, intimamente connessi fra loro, di derivata, flessione, velocità istantanea (in un diagramma di movimento), ecc.

Avendo tratto origine da tali problemi, la derivazione e l'integrazione non si manifestarono inizialmente come operazioni inverse l'una dell'altra. Questa loro proprietà fondamentale non si rivelò immediatamente, tuttavia essa traspare in alcuni studi di balistica di Galileo; Cartesio e Fermat la osservarono in qualche caso particolare, mentre E. Torricelli (1608-1647) e I. Barrow (1630- 1677) ne ebbero piena consapevolezza. Si deve a Leibniz e a Newton il chiarimento definitivo di questo punto.

I progressi del “nuovo calcolo” furono rapidi. Le regole fondamentali relative alla derivazione e all'integrazione furono ben presto stabilite e applicate a numerosi problemi. In tal modo si completò e precisò la conoscenza delle funzioni elementari. Le formule di Taylor (1685- 1731) e di Maclaurin (1698-1746) permisero lo sviluppo in serie di tali funzioni, ecc. La prima esposizione sistematica dell'analisi fu eseguita dal marchese G. de L'Hospital (1661-1704), probabilmente in collaborazione con Jean Bernoulli (1667-1748).

v La formulazione dell'analisi

Il primo periodo di compilazione e di estensione del calcolo infinitesimale trova, in un certo senso, il suo coronamento nell'immensa opera di Eulero, il geniale matematico di Basilea, che Caterina di Russia invitò a insegnare a Pietroburgo. In questa opera è già tracciata nelle sue linee essenziali tutta l'analisi matematica classica. Prima però di qualificarsi come scienza autonoma, l'analisi trovò applicazione nella meccanica e nella fisica, rivelandosi molto utile all'impostazione e alla soluzione di diversi problemi.

Poichè la legge di Newton (legge fondamentale della dinamica) afferma che la forza agente sopra un punto materiale è uguale al prodotto della massa del medesimo punto per la sua accelerazione, cioè alla derivata rispetto al tempo della sua quantità di moto, ogni problema della meccanica deve potersi trattare mediante il “nuovo calcolo”: le equazioni da risolvere non sono più equazioni algebriche, bensì differenziali, cioè delle relazioni tra una funzione incognita e le sue derivate.

Si aprì così un vasto campo di ricerche relative alle equazioni differenziali, ricerche che furono coronate da successo prima ancora che fosse stata chiarita in modo soddisfacente la questione critica relativa ai fondamenti dell'analisi. Tale ulteriore progresso avvenne a opera di Cauchy e di Weierstrass mediante l'impiego del concetto di limite e di quello di convergenza.

Anche il concetto di funzione fu sottoposto ad analisi critica; il risultato fu che il concetto di funzione di una variabile reale fu generalizzato con l'introduzione delle funzioni analitiche e che si manifestò l'esigenza di coordinare i risultati ottenuti in una organica teoria delle funzioni. Tale tendenza obbediva allo stesso principio unificatore che mirava a fare di ricerche isolate una scienza autentica con fondamenti rigorosi. Lo stesso rapporto tra analisi e meccanica, e più in generale tra analisi e fisica, venne assumendo un carattere diverso. Ciascuna di tali discipline infatti tese a mantenere le proprie caratteristiche, pur non rinunciando a una feconda collaborazione con le altre.

Riprendendo i risultati già ottenuti l'analisi si accinse a trattarli per i suoi fini specifici, li approfondì, li generalizzò, li ordinò in gruppi affini, dando vita a diversi capitoli: equazioni differenziali, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo delle variazioni, ecc. Successivamente furono introdotti i sistemi di funzioni ortogonali che permisero di sviluppare in serie ampie classi di funzioni, sviluppo del quale le serie trigonometriche avevano costituito il primo esempio. Con V. Volterra e I. E. Fredholm iniziò la teoria delle equazioni integrali e integro- differenziali. Poichè lo stesso concetto di funzione ammetteva come spontanea generalizzazione quello di funzionale, si aprì il capitolo nuovo dell'analisi funzionale. Infine con l'introduzione dello spazio di Hilbert legato alla concezione di uno spazio a infinite dimensioni si giunse allo schema di un'analisi astratta e generale.

Si è cioè sviluppato uno svincolamento progressivo della matematica, come matematica pura, dai campi in cui essa ha trovato applicazione e ai quali essa continua tuttavia a fornire un linguaggio indispensabile.

Esaminando lo sviluppo storico della matematica si nota che la geometria non ha affatto riconquistato quella posizione predominante che essa possedeva presso i Greci. L'abbiamo vista infatti, legata all'algebra, divenire geometria algebrica. Se ne sono scorti i legami con l'analisi nel problema delle aree e delle tangenti. Queste connessioni stabiliscono appunto i primi elementi della geometria differenziale, cui ha dato origine l'applicazione dell'analisi alla geometria. Un contributo essenziale in questo campo è dovuto a Gauss, cui si deve il famoso theorema egregium. Esso dimostra che, in ogni punto di una superficie, la curvatura gaussiana (o totale) è invariante rispetto a tutte le flessioni senza rotture della superficie stessa. Questo teorema può essere generalizzato in uno spazio di Riemann a n dimensioni introducendo il tensore di curvatura. Gli spazi di Riemann, a loro volta, si generalizzano negli spazi di E. Cartan. La teoria della gravitazione di Einstein trova proprio in un particolare spazio di Riemann a quattro dimensioni la sua naturale formulazione matematica, sviluppata in particolare da T. Levi-Civita (1873-1941) nel calcolo differenziale assoluto.

Un indirizzo di ricerca dove invece la geometria trova una sua autonomia dalle altre scienze ed è trattata direttamente, come la geometria greca, è costituito dalle geometrie non euclidee.

v La matematica delle strutture

Occorre osservare che, nel  XIX sec., si sono sviluppate due nuove discipline accanto all'algebra e all'analisi: la logica simbolica e la teoria degli insiemi. La prima, con G. Boole (1815-1864), E. Schrφder (1841-1902) e G. Frege (1848-1925), almeno inizialmente mirò a ricondurre il processo del ragionamento logico a un calcolo algebrico; l'algebra a essa corrispondente, detta algebra di Boole, differiva però sensibilmente dall'algebra classica. La logica simbolica si diffuse rapidamente, differenziandosi in logica dei predicati, logica delle classi, logica delle proposizioni, ecc. Con A. N. Whitehead (1861-1947) e B. Russell (1872-1970), attraverso la loro opera fondamentale Principia mathematica, in parte già anticipata da G. Peano (1858-1932), la logica simbolica tese a una trascrizione dell'insieme di tutte le discipline matematiche mediante il solo impiego dei suoi concetti fondamentali caratteristici e delle sue particolari regole di costruzione. Per quel che concerne la teoria degli insiemi va detto che l'algebra, l'analisi e la stessa geometria si sono servite del concetto di insieme con una libertà e una generalità sempre crescenti; è quindi naturale l'attenzione che vi dedicò G. Cantor (1845-1918). Egli espose una teoria generale degli insiemi, la quale si riferisce soprattutto agli insiemi infiniti che possono essere distinti gli uni dagli altri per mezzo della loro potenza. Come la logica simbolica, anche la teoria degli insiemi è in grado di mettere il proprio patrimonio concettuale e i procedimenti sui quali essa stessa si basa al servizio di un'impostazione unificatrice della matematica.

Ma lo sviluppo dell'una e dell'altra teoria contrastò con un certo numero di paradossi, che provocarono reazioni diversissime. La più violenta fu quella di L. E. J. Brouwer (1881- 1966), che attaccò la stessa validità della applicazione del ragionamento matematico e specialmente quella del principio del terzo escluso per le classi infinite. Egli oppose a quest'ultima un atteggiamento intuizionistico, in virtù del quale ogni conquista razionale viene eseguita alla luce di un'intuizione matematica sui generis, intuizione che non ha alcuna garanzia più sicura di se stessa. Se, in tal modo, possono essere evitati numerosi paradossi, gran parte della matematica classica (che non si può mettere in dubbio) non può essere edificata. Hilbert si accinse invece a dimostrare che l'applicazione pratica della matematica non può essere tale da condurre a risultati contraddittori. Perciò egli propose e si sforzò di costruire una teoria delle dimostrazioni che, superando il metodo assiomatico, costituisse il fondamento di un metodo formale. Una volta formalizzati sia gli assiomi relativi a una teoria, sia le regole di logica da applicare per la costruzione della medesima, il processo di deduzione viene a essere costituito dall'applicazione di certe regole sull'uso dei simboli introdotti. Per dimostrare che tale procedimento non può dar luogo a formule contraddittorie e perciò inutili, Hilbert ricorse unicamente a un'interpretazione formale dei simboli adottati nel calcolo. Anche se non si mantenne in questi limiti, la teoria delle dimostrazioni ha stimolato numerose ricerche sui procedimenti formali e sui fondamenti logici della matematica i cui risultati, alcuni dei quali del tutto imprevedibili (e in particolare quelli concernenti i casi limite di tali procedimenti), sono senza dubbio di importanza capitale. Ciascuna rappresentazione di una disciplina mediante il linguaggio di un'altra mette in risalto un aspetto strutturale comune a entrambe: questa circostanza si verifica, in un certo senso, anche nel caso di una trascrizione in simboli. I proponimenti (in parte realizzati) di Hilbert hanno esercitato un'influenza feconda su quel processo di sintesi dei vari rami della matematica che sono il presupposto necessario per edificare una teoria generale delle strutture. Si tratta di un'evoluzione verso l'astratto insita nella stessa natura dell'attività matematica. Inutile sottolineare la fecondità della connessione creatasi tra teoria degli insiemi e studio delle strutture degli insiemi, dei gruppi, ecc. Basti ricordare la moderna topologia, che costituisce appunto un chiaro esempio di questo nuovo indirizzo. L'opera di Hilbert è stata dunque fondamentale e ha largamente influito sul pensiero matematico contemporaneo. Si può ben dire che gli indirizzi attuali della matematica si sono sviluppati o in accordo con il pensiero di Hilbert o in opposizione a esso. Dopo Hilbert si assiste a una radicalizzazione del problema di fondo dell'analisi dell'esperienza matematica. Si pone cioè il problema se detta analisi debba eseguirsi in termini di oggetti che hanno una loro esistenza esterna indipendente dal processo conoscitivo o viceversa in termini del processo conoscitivo considerato indipendente dall'ipotesi dell'esistenza di oggetti matematici esterni.

I due atteggiamenti sono noti con il nome di platonismo nel primo caso, e di costruttivismo nel secondo. Mentre però il platonismo si può considerare una corrente unitaria, il costruttivismo non si presenta come una concezione unitaria; si possono infatti individuare in esso una vasta gamma di sfumature, che vanno dalle posizioni più radicali del formalismo estremo, all'intuizionismo.

L'esponente più significativo della concezione platonista è Kurt Gφdel, al quale si deve l'analisi del parallelo fra matematica e fisica, per provare l'esistenza oggettiva degli enti matematici.

Nell'ambito del costruttivismo è da ricordare la corrente del formalismo estremo: spostato il centro dell'indagine matematica dagli oggetti esterni ai metodi dimostrativi, le costruzioni matematiche vengono concepite in modo puramente combinatorio negando a esse una qualsiasi connessione con la realtà esterna.

Per la corrente dell'intuizionismo ricordiamo L. E. J. Brouwer, il quale non nega l'esistenza di oggetti matematici esterni, ma nega che gli oggetti in questione possano esistere prima che ne sia stata data una precisa costruzione mentale. Si pone quindi l'accento sul soggetto che costruisce mentalmente: l'oggetto della matematica è cioè la stessa attività matematica e l'esistenza dell'oggetto matematico esterno è possibile solo in quanto esso ha la stessa struttura dell'idea costruita mentalmente.

Nella seconda metà del XX secolo la ricerca matematica si è sviluppata in un gran numero di filoni, che è praticamente impossibile riassumere in poche parole. Sono stati ottenuti alcuni risultati importanti, uno dei quali in particolare ha fatto scalpore: la dimostrazione del cosiddetto “ultimo teorema di Fermat”, che aveva eluso gli sforzi dei matematici per circa 350 anni. Quello che nella sua formulazione appare un problema molto semplice ha richiesto invece giri apparentemente molto tortuosi: la dimostrazione finale è stata data dal matematico inglese A. J. Wilkes, nel 1993 e riconosciuta valida un anno dopo ed è, in effetti, la dimostrazione di una congettura di Y. Taniyama, formulata nel 1954, da cui con molti passaggi intermedi discende il teorema di Fermat. La congettura riguarda l'esistenza nel piano iperbolico di particolari strutture che corrispondono a determinate curve ellittiche generate da equazioni diofantee e la dimostrazione è lunga e complessa. Quello della dimostrazione del teorema di Fermat è peraltro uno dei pochi casi, nella matematica moderna, in cui non ha svolto un ruolo il calcolatore elettronico, oggetto di studio da un lato ma dall'altro soprattutto strumento di calcolo e di ricerca, che ha favorito la rinascita degli studi sulle procedure algoritmiche, sulla teoria dell'approssimazione, in generale della matematica discreta, rispetto alla matematica del continuo che era stata dominante negli ultimi secoli. L'uso del calcolatore ha reso possibile la dimostrazione del “teorema dei quattro colori”, consentendo l'esecuzione di una procedura di esame di tutti i casi possibili che sarebbe stata praticamente impossibile con strumenti manuali: la lunghezza della dimostrazione risultante è peraltro tale da scoraggiare un esame diretto, passo per passo, da parte di un uomo, e quindi ha sollevato discussioni sul senso da dare, a questo punto, al termine stesso di “dimostrazione”.

Non c'è dubbio, d'altra parte, che l'uso del calcolatore abbia permesso di affrontare parti di grande interesse della matematica con un atteggiamento più “sperimentale” che non in passato: la geometria frattale non avrebbe potuto nascere senza la potenza di calcolo degli elaboratori elettronici ed è un campo in cui l'esplorazione è molto attiva: si può “andare a vedere” che cosa succede variando parametri e lasciando al calcolatore il compito di presentare i risultati in forme grafiche che hanno suscitato grande interesse anche per la loro valenza estetica.

v Insegnamento della matematica

La  pedagogia ha adottato nuovi metodi, in rapporto a due ordini di problemi. Il primo si riferisce alla modifica dei contenuti dell'insegnamento della matematica nella scuola primaria: si è passati in quasi tutte le nazioni più avanzate sul piano tecnologico e industriale dall'insegnamento dell'aritmetica all'insegnamento della matematica o meglio sarebbe dire delle matematiche (dalla topologia, alla teoria degli insiemi, al calcolo su basi diverse dal sistema decimale quale, ad esempio, il sistema binario utilizzato dai computer); il secondo riguarda la metodologia e la didattica: numerosi progetti per l'insegnamento della matematica sono stati messi a punto e sperimentati scientificamente, dimostrando la possibilità di attuare una serie di attività di apprendimento, relative alla materia, basate sull'uso di materiali didattici appositamente costruiti (ad esempio i blocchi logici e quelli multibase) e più in generale con l'applicazione di tecniche fondate sull'osservazione e la scoperta delle proprietà matematiche da parte dei bambini sin dalla prima infanzia. La nuova didattica della matematica nasce dallo sviluppo delle ricerche sui processi cognitivi dei bambini e da un obiettivo allargamento dei programmi d'insegnamento della matematica a livello della scuola primaria. Dalle nuove metodologie d'insegnamento della matematica sono sorti nuovi sviluppi che hanno collegato la matematica all'insegnamento della logica e all'analisi logica delle strutture del linguaggio.

v Matematica attuariale

Lo  strumento fondamentale della matematica attuariale è il calcolo delle probabilità in quanto in ogni forma di assicurazione ha importanza determinante la probabilità che si verifichi un dato evento. Le assicurazioni sulla vita umana sono fondate sulle nozioni di probabilità di vita e di morte. Precisamente si intende per probabilità di vita npx la probabilità che una persona di età x sopravviva all'età x + n e per probabilità di morte m/nqx (m < n) la probabilità che una persona di età x muoia a una età compresa tra x+m e x+n. Queste probabilità non possono essere ovviamente determinate per via teorica, ma si possono desumere dalle tavole statistiche di sopravvivenza in cui i dati raccolti dall'osservazione di un opportuno campione di persone vengono elaborati in modo da poter conoscere la percentuale 1x di individui di un'età prefissata che possono sopravvivere all'età x. Il problema matematico principale di ogni forma di assicurazione è la determinazione dell'entità del premio che l'assicurato deve pagare all'assicuratore per poter beneficiare di una data somma nel caso che si verifichi un determinato evento riguardo alla vita o alla morte dell'assicurato. Le principali forme di un'assicurazione in caso di vita sono: la rendita vitalizia immediata che prevede il pagamento di una somma annua a partire dall'anno della sottoscrizione del contratto finchè l'assicurato rimane in vita. La rendita vitalizia differita in cui il primo pagamento annuo avviene n anni dopo la sottoscrizione del contratto. Il capitale differito in cui l'assicuratore si impegna a pagare dopo n anni a un assicurato di età x una determinata somma S nel caso che a tale epoca l'assicurato sia ancora in vita; in questo caso l'entità del premio puro (trascurando cioè il caricamento dovuto alle spese di amministrazione, agli utili, ecc.) si ottiene moltiplicando S per la probabilità di vita npx. Per calcoli attuariali più complicati si ricorre a delle opportune tavole che forniscono il valore dei coefficienti che più frequentemente compaiono nel calcolo dei primi, detti simboli di commutazione. Indicando con

v = 1/(1+i)

il fattore di sconto corrispondente al tasso i i principali simboli di commutazione si sogliono scrivere nella forma:

Dx = vx1x

Nx = Dx +1 + Dx + 2 + Dx + 3 + ...,

Sx = Nx + Nx + 1 + Nx + 2+ ...,

Cx = vx + 1 (1x —1x + 1),

Mx = Cx + Cx + 1 + Cx + 2 + ...

Il premio pagato per la rendita vitalizia immediata di una somma annuale S θ SNX/DX e il corrispondente premio per la rendita vitalizia differita di n anni θ SNx+n­1 / Dx. Mediante i simboli di commutazione si possono facilmente calcolare anche i premi pagati nelle varie forme di assicurazione in caso di morte: per es. nella vita intera, che è l'assicurazione di una data somma S che viene pagata alla morte dell'assicurato, il premio pagato è in prima approssimazione SMx / Dx.

v Matematica finanziaria

Il  problema più caratteristico della matematica finanziaria consiste nel determinare, a partire da un dato capitale iniziale impiegato per un tempo t a un certo tasso di interesse, il montante dopo il tempo t, cioè l'ammontare del capitale aumentato degli interessi maturati nel tempo. La soluzione di questo problema dipende dal tipo di capitalizzazione considerato (generalmente capitalizzazione composta). Altri capitoli tipici della matematica finanziaria sono lo studio e il calcolo degli ammortamenti, delle annualità  e delle rendite che sono tutte nozioni intimamente legate ai concetti fondamentali di capitale e di interesse.