Probabilità

Probabilità    Carattere, qualità di ciò che è probabile. � Il grado in cui un evento si ritiene probabile: D Una gran probabilità d'essere abbandonati da chi, in astratto e, per così dire, in teoria, imponeva loro di operare (Manzoni). Ci sono scarse probabilità che ciò riesca bene.

— Filos. Nella logica di Aristotele, la qualità di ciò che è ritenuto vero dalla maggioranza, o dai più competenti. � Secondo Carneade e gli scettici della Nuova accademia, la qualità di ciò che appare vero al soggetto e non è contraddetto da altre rappresentazioni. � Nella logica moderna, la misura della possibilità che un evento si verifichi.

Ling. Indice determinato dal rapporto tra i casi possibili e quelli effettivi di apparizione di un segno linguistico in un determinato contesto. (La probabilità di apparizione di un segno linguistico in un enunciato è condizionata dal contesto. Un fonema, per esempio, ha sul piano teorico la stessa probabilità di qualsiasi altro di apparire, ma in pratica dopo una sequenza come [manic] l'unico fonema ammesso è [i], che raccoglie in sè tutte le probabilità: invece dopo la sequenza [manik] le probabilità sono tripartite fra [a], [e], [o]. L'indice di probabilità è inversamente proporzionale all'indice di informazione.)

— Mat. Rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili per un evento qualsiasi, supponendo tutti i casi ugualmente possibili. � Calcolo delle probabilità, insieme di regole mediante le quali si valutano le alee e i rischi.

— Mil. Fattore di probabilità, in balistica, rapporto fra l'ampiezza longitudinale o laterale di un obiettivo e la corrispondente striscia dei colpi.  � Probabilità di danno, nel lancio o nel tiro di ordigni atomici singoli, valutazione che consente di determinare le modalità di intervento (tipo di esplosione, altezza del punto zero, potenza dell'ordigno, mezzo di lancio, ecc.) per conseguire lo scopo e gli effetti prefissi.

u Matematica

Liberata dalle considerazioni relative alle pratiche dei giochi d'azzardo che ne suggerirono la prima applicazione e precisata attraverso il pensiero matematico, l'idea di probabilità ha originato una disciplina al tempo stesso teorica e applicativa di considerevole ampiezza, il calcolo delle probabilità, il cui campo di applicazione abbraccia gran parte delle discipline scientifiche e tecniche. Il calcolo delle probabilità fornisce le basi e lo strumento matematico indispensabile alla trattazione di una serie di discipline più o meno autonome, quali la teoria dei giochi, la scienza attuariale, la statistica, la teoria degli errori. ln molti casi si presenta inoltre come il metodo specifico nella descrizione di certi sistemi fisici costituiti da un grande numero di sistemi elementari come, ad es., quelli studiati dalla teoria cinetica dei gas e in generale dalla meccanica statistica. A differenza di molte altre nozioni matematiche, la nozione di probabilità non pare si sia mai manifestata anteriormente al fiorire matematico dell'Occidente. L. Pacioli, G. Cardano e Galileo furono i primi a farne menzione, ma il primo studio sistematico appare soltanto a metà del  XVII sec. allorchè il cavaliere di Mιrι propose a Pascal una serie di quesiti relativi ai giochi d'azzardo, sul tipo del seguente: “ln quanti colpi si può sperare di ottenere un doppio sei con due dadi?”. Tali quesiti originarono uno scambio di sei lettere fra Pascal e Fermat. Tuttavia il problema più importante fu quello di stabilire la giusta ripartizione delle poste quando un gioco d'azzardo iniziato con l'intenzione di eseguire un certo elevato numero di “colpi” o “mani” veniva interrotto. Venuto a conoscenza di questo problema, Huygens pubblicò nel 1656 un trattato intitolato De ratiociniis in ludo aleae. Un notevole approfondimento dell'argomento si ebbe nel 1713 con la pubblicazione dell'Ars conjectandi di Jacques Bernoulli. Quest'opera, postuma, presenta, oltre a una riedizione del trattato di Huygens, una serie di considerazioni inedite sul calcolo delle probabilità. Vi si trova fra l'altro la legge dei grandi numeri.

Tra gli studiosi che si occuparono di calcolo delle probabilità nel XVIII sec., Daniel Bernoulli applicò i metodi del calcolo integrale; su questa scia si posero grandi matematici del tempo; in particolare Lagrange, Laplace e Gauss enunciarono la legge di probabilità di errori dovuti a cause deboli, ma numerose. In Inghilterra, dove andavano sviluppandosi le assicurazioni sulla vita, e soprattutto le assicurazioni marittime, Bayes propose il problema delle probabilità a priori, fornendone una prima risposta parziale con la formula che porta il suo nome. In Francia, A. Deparcieux introdusse i procedimenti del calcolo delle probabilità nella statistica, contribuendo così notevolmente allo sviluppo di questa scienza. Il calcolo delle probabilità assunse tuttavia una fisionomia autonoma per merito soprattutto di Laplace e di Gauss. Fra il 1771 e il 1818 Laplace pubblicò una lunga serie di memorie sul calcolo delle probabilità: il contenuto essenziale di questi lavori è esposto sistematicamente nella Teoria analitica delle probabilità (1812) e nel Saggio filosofico sulle probabilità (1814). Da allora gli studi sul calcolo delle probabilità e sulle sue applicazioni presero progressivamente la grande diffusione che essi hanno attualmente. La nozione elementare di probabilità, definita da Laplace come rapporto tra il numero di casi favorevoli a un evento e il numero dei casi possibili, ritenuti ugualmente possibili, contiene in realtà un circolo vizioso, perchè il dire che gli eventi sono ugualmente possibili è lo stesso che dire che sono ugualmente probabili, perciò tale definizione presuppone già che si sappia definire eventi con la stessa probabilità. Per eliminare questo inconveniente sono state proposte altre definizioni tra cui ricordiamo quella che si riallaccia a una concezione statistica, in cui la probabilità di un evento ripetibile entro un insieme casuale di prove viene definita come il limite a cui tende la frequenza relativa al tendere all'infinito del numero delle prove. Indipendentemente dalla definizione e dalle diverse interpretazioni del concetto di probabilità si può sviluppare una teoria assiomatica delle probabilità che di per sè non ha alcun contenuto concreto, tuttavia il suo formalismo è applicabile a ogni concezione e a ogni calcolo probabilistico. Questa teoria, dovuta principalmente al matematico sovietico A. N. Kolmogorov (1903), parte dalla definizione di un insieme W detto spazio campione i cui sottoinsiemi sono detti eventi: per es. W potrebbe essere l'insieme “testa” e “croce”, realizzabile praticamente con i lanci di una moneta. Gli eventi associati a un solo lancio sono costituiti da un solo elemento (o “testa” o “croce”), gli eventi associati a due lanci successivi sono associati alle coppie di elementi “testa, testa”, “testa, croce”, “croce, testa” o “croce, croce” e così via. Agli eventi E si associa una misura P, detta appunto probabilità, che soddisfa i tre assiomi seguenti:

1. P(E)Õ0

2. P(W)=1

3. P (E1 ~ E2)=P (E1)+P (E2) se E1 ? E2= ^dove   è l'insieme vuoto. Il primo assioma dice che la probabilità non è negativa, il secondo afferma che il valore massimo è 1, il terzo costituisce il principio dell'additività delle probabilità totali: infatti la condizione E1? E2= ^ significa che gli eventi E1 ed E2 sono incompatibili, cioè se si verifica E1 non può verificarsi E2; quindi in altri termini il terzo assioma stabilisce che la probabilità di verificarsi di due eventi incompatibili (è nuvolo o è sereno, per es.) è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Due eventi E1 ed E2 si dicono indipendenti o stocasticamente indipendenti, se è soddisfatta la condizione P(E1 ? E2) = P(E1) · P (E2) detta principio delle probabilità composte. Nella formulazione assiomatica accanto alla nozione di probabilità si introduce il concetto di probabilità condizionata o subordinata che è una misura associata alle coppie ordinate di eventi E/F che sono a loro volta eventi (E/F si legge “E subordinato a F”). La probabilità condizionata dell'evento E/F è definita dalla relazione:

Mediante questa nuova nozione il principio delle probabilità composte (detto anche teorema di moltiplicazione) si può generalizzare nella forma seguente:

P (E ? F)= P(F) · P(E/F).

Da questo principio discende immediatamente il teorema di Bayes nella sua forma più elementare:

Questo teorema permette in pratica di conoscere, a partire dalla probabilità a priori P (E) del verificarsi di E e dalla probabilità P (F/E) che l'evento E sia la causa dell'evento F, la probabilità a posteriori P (E/F) che l'evento F conduca all'evento E.

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