Topologia

Topologia    Studio delle caratteristiche del paesaggio e delle varie forme di rilievo. � Anatomia topografica.

— Mat. Branca della matematica che si occupa di quelle proprietà degli insiemi che sono invarianti per omeomorfismi, cioè per corrispondenze biunivoche e bicontinue.

u Matematica

H . Poincarè è a ragione ritenuto il creatore della topologia (o analysis situs) come scienza a sι stante: egli le diede infatti un'unità metodologica e ne mise in luce le vaste e profonde possibilità di applicazione a importanti problemi di geometria algebrica, di analisi e di fisica. In questa sede va tuttavia ricordata l'opera di L. Eulero, a cui si devono alcuni teoremi e la soluzione di alcuni celebri problemi di chiaro interesse topologico. Tra i matematici che oltre a Poincare hanno contribuito a sviluppare la topologia, si citano S. Lefschetz, P. S. Aleksandrov, E. Betti, H. Cartan e il gruppo Bourbaki.

Tra i concetti base della topologia porremo innanzitutto quello di spazio topologico, a cui è strettamente legata la nozione di omeomorfismo. In termini intuitivi diremo che sono omeomorfismi tutte quelle trasformazioni che possono operarsi su un oggetto geometrico mediante deformazioni graduali senza strappi. In questo senso la superficie di una sfera è omeomorfa a quella di un cubo o a quella di una piramide. Viceversa la superficie di un anello non può trasformarsi in quella di una sfera senza tagli e saldature. Di particolare interesse sono gli invarianti topologici, cioè quelle proprietà di uno spazio topologico (possono essere numeri ma anche gruppi) che sono invarianti per omeomorfismi. Un esempio può chiarire il concetto. Sia data una superficie chiusa a due dimensioni (per es. la sfera, il toro, il nastro di Mφbius). Disegniamo su questa superficie una triangolazione, o in altri termini una carta geografica in cui ogni regione ha la forma approssimativa di un triangolo o di un poligono qualsiasi. Sia f il numero arbitrario delle regioni o facce, s quello dei lati, v quello dei vertici. Negli esempi citati abbiamo rispettivamente:

1. Per la sfera f = 4 s = 6 v = 4 ed f­s+v­2 = 0; 2. per il toro f = 4 s = 8 v = 4 ed f­s+v­2 = ­2; 3. per il nastro di Mφbius f = 3 s = 6 v = 4 f­s+v­2 = ­ 1. La quantità x = f­s+v­2, nota come caratteristica di Eulero, non dipende dalla triangolazione scelta ed è un invariante topologico, cioè superfici tra loro omeomorfe hanno lo stesso valore di c. Se c è dispari la superficie è a una sola faccia, non orientabile. Una formica che camminasse sulla superficie trovandosi a un certo istante sulla pagina superiore, dopo un certo cammino potrebbe giungere su quella inferiore. Se c è pari possiamo intuitivamente pensare alla superficie come quella di una sfera a cui vengano attaccati ­ c/2 manici.

La caratteristica di Eulero è stata generalizzata a spazi con più dimensioni: i nuovi invarianti topologici che così si ottengono sono noti come numeri di Betti. In tempi più recenti, specie a opera di H. Cartan, il concetto di gruppo abeliano di omologia e quello di modulo hanno portato a successive generalizzazioni della caratteristica di Eulero e alla creazione dell'algebra omologica in cui l'aspetto formale e astratto della teoria ha preso il sopravvento sul contenuto geometrico intuitivo.

Dobbiamo agli studi di Henri Poincare, oltre all'introduzione dei gruppi di omologia, la definizione di gruppo fondamentale p1 di uno spazio topologico, capostipite della serie di gruppi di omotopia . Il gruppo fondamentale p1descrive in modo assai conciso ed elegante il concetto di connessione multipla in uno spazio topologico.

L'insieme delle tecniche sviluppate dall'omotopia e l'omologia costituiscono l'ossatura di quella parte della topologia che va sotto il nome di topologia algebrica o combinatoria: lo scopo di questa branca della topologia è di individuare e associare agli spazi topologici delle strutture algebriche (ad es. gruppi, anelli, spazi vettoriali) tali che due spazi topologicamente equivalenti siano associati a strutture algebriche tra loro isomorfe. Le strutture algebriche che soddisfano queste proprietà si dicono invarianti topologici. Un'altra branca della topologia di non minore importanza è la topologia generale, che studia direttamente le proprietà degli spazi topologici senza usare i metodi che caratterizzano la topologia algebrica e che ha assunto un'importanza fondamentale per le applicazioni all'analisi funzionale moderna. Le applicazioni più usuali di questa disciplina riguardano le raffinate tecniche di paragone e di derivazione di differenti topologie esistenti su spazi astratti (spazio di Banach, Hilbert, Frιchet, spazi di operatori, ecc.) di dimensione infinita, essenziali nella teoria moderna delle equazioni alle derivate parziali e in quella delle equazioni integrali che hanno una grandissima importanza nella fisica teorica contemporanea, oltre che, naturalmente, nella matematica pura.