Trigonometria

Trigonometria    Mat. Studio delle relazioni che intercorrono tra gli elementi di un triangolo e applicazione di tali relazioni alla risoluzione dei triangoli. � Per estens. Applicazione delle stesse relazioni alla determinazione di enti relativi a figure geometriche diverse dal triangolo. � Trigonometria piana, parte della trigonometria che concerne i triangoli piani e le figure geometriche piane. � Trigonometria sferica, parte della trigonometria che concerne i triangoli sferici e, piω in generale, figure geometriche spaziali limitate da archi di circonferenze massime di una sfera.

u Matematica

Il  primo trattato sistematico di trigonometria è dovuto a Regiomontano, che lo scrisse nel 1464; pubblicato postumo a Norimberga nel 1533, comprende la trigonometria piana e la trigonometria sferica.

v Trigonometria piana

La  trigonometria piana definisce e studia le sei funzioni trigonometriche o circolari di un angolo o dell'arco che esso individua su una circonferenza avente raggio unitario e centro nel suo vertice: il seno, il coseno, la tangente, la cotangente, la secante, la cosecante; essa stabilisce le relazioni cui queste funzioni soddisfano e fra le quali devono essere ricordate la relazione fondamentale:

sen²a+cos²a=1

e le formule seguenti:

formule di addizione

sen(a)b) = sen a cos b)sen b cos a

cos (a)b) = cos a cos b*sen a sen b

formule di duplicazione

sen 2 a = 2 sen a cos a

cos 2 a = cos² a ­ sen² a

formule di bisezione

formule di riduzione

sen (p)a)= *sen a; cos (p)a)=­cos a

sen (2p­a)=sen (­a)=­sen a;

cos (2p­a)=cos (­a)=cos a

formule di prostaferesi

Indicando con a, b e c le lunghezze (rispetto a un'unità di misura prefissata) dei tre lati di un triangolo e con  la misura (in radianti) degli angoli ordinatamente opposti a tali lati, le relazioni fondamentali sulle quali si basa tutta la trigonometria possono scriversi:

1.

 la somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto;

2.

(teorema del seno);

3.

 (teorema di Carnot o del coseno).

Analoghe uguaglianze si possono ottenere da quelle ora scritte mediante una permutazione circolare dei lati e degli angoli. Queste relazioni e altre ancora si determinano molto facilmente introducendo i tre vettori a b c ottenuti orientando i tre lati, a, b, e c. Così, osservando, per esempio, che

-a = b + c,

risulta l'equivalenza fra il teorema del coseno e l'affermazione che il modulo di a è uguale a quello di b + c. Le funzioni trigonometriche vengono rappresentate nel piano cartesiano da curve dette rispettivamente sinusoide, cosinusoide, tangentoide, cotangentoide, secantoide, cosecantoide.

v Trigonometria sferica

Insieme  a un triangolo sferico si considera il triedro che lo proietta dal centro di una sfera opportuna. Gli angoli e i lati del triangolo risultano allora misurati dagli elementi corrispondenti del triedro: precisamente, gli angoli del triangolo dagli angoli diedri del triedro e i lati del triangolo dalle facce del triedro, ossia dagli angoli al centro corrispondenti, detti ampiezze dei lati del triangolo. La somma degli angoli di un triangolo sferico è compresa tra uno e tre angoli piatti. In particolare, esistono triangoli trirettangoli. Si chiama eccesso sferico e la differenza tra la somma degli angoli interni del triangolo sferico e un angolo piatto, cioè

L'area A di un triangolo sferico si può esprimere in funzione di e e del raggio R della sfera su cui è tracciato mediante la formula

A=R² e.

Le relazioni fondamentali tra angoli e lati comprendono anche un teorema del seno e un teorema del coseno. Questi due teoremi risultano ordinatamente espressi dalle seguenti relazioni:

cos a=cos b cos c + sen b sen c cos A

Altre formule notevoli sono date dal teorema delle proiezioni, esprimibile mediante le relazioni seguenti:

e da altre analoghe ottenute permutando circolarmente le lettere. Combinando opportunamente le formule precedenti si possono ricavare le formule di Nepero  che esprimono il seno o il coseno di un angolo in funzione delle ampiezze dei lati del triangolo sferico.

v Applicazioni della trigonometria

I problemi che si presentano da risolvere nella pratica con l'aiuto della trigonometria si possono ricondurre tutti ai seguenti tre: la determinazione della distanza tra due punti di cui uno inaccessibile, la determinazione della distanza tra due punti inaccessibili, la determinazione dell'angolo sotto il quale un punto inaccessibile vede un segmento avente come estremi due punti accessibili, un punto accessibile e l'altro inaccessibile, due punti inaccessibili. Le risoluzioni di tutti questi problemi richiedono il ricorso a una base, cioè a un segmento di retta AB, opportunamente scelto, del quale si conosca con precisione la lunghezza.